我们都知道，如果把一个球切成若干块，然后把这些块重新拼起来，我们最多只能得到一个和原来一样大小的球，或者一个更小的球。但是你相信吗，有一种数学方法，可以让你把一个球变成两个一样大小的球，而且只需要用到旋转和平移这两种简单的操作？这就是巴拿赫-塔斯基悖论（Banach-Tarski paradox）。
巴拿赫-塔斯基悖论是一个集合论几何中的定理，它的内容如下：
给定一个三维空间中的实心球，存在一种将球分解为有限个不相交子集的方法，使得这些子集可以通过旋转和平移重新组合成两个和原来一样大小的实心球。
换句话说，就是可以用数学魔法把一个球变成两个球。这个定理也可以推广到任意两个“合理”的实体之间，比如说，可以把一个豌豆变成太阳，或者把地球变成月亮。这听起来是不是很不可思议？这就是为什么它被称为悖论，因为它违背了我们对几何直觉的常识。
那么这个定理是怎么证明的呢？首先我们要明白，这个定理依赖于一个非常重要而又有争议的数学公理——选择公理（axiom of choice）。选择公理说的是，对于任意一个由非空集合组成的集合族（也就是一个大集合里面包含了很多小集合），我们可以从每个小集合里面选出一个元素，构成一个新的集合。
这听起来很自然，但是问题在于，如果这个集合族是无穷大的，而且每个小集合也是无穷大的，那么我们怎么能保证我们能够做出这样的选择呢？选择公理就给了我们这样的保证，但是它并不能被其他更基本的数学公理推导出来，所以它只能作为一个假设来使用。而且选择公理会导致一些非常奇怪而又难以接受的结果，比如巴拿赫-塔斯基悖论就是其中之一。
有了选择公理，我们就可以开始证明巴拿赫-塔斯基悖论了。证明的思路大致如下：
我们先考虑球面（也就是球的表面）而不是实心球。因为如果我们能够把一个球面变成两个球面，那么我们就可以用同样的方法把每个半径相同的同心球面都变成两个球面，然后把这两个球面分别向内扩张，就得到了两个实心球。这样就把问题简化了一些。
我们再考虑一个更简单的情况，就是把一个圆周变成两个圆周。如果我们能够做到这一点，那么我们就可以用同样的方法把球面上的每个经线（也就是从北极到南极的圆周）都变成两个经线，然后再把每个纬线（也就是平行于赤道的圆周）都变成两个纬线，这样就得到了两个球面。所以我们只需要关注圆周的情况。
我们先把圆周分成四个相等的部分，每个部分是一个90度的弧。我们用A、B、C、D来表示这四个弧。然后我们把A和C分别旋转180度，得到A’和C’。这样我们就得到了两个半圆，一个是B和A’组成的，另一个是D和C’组成的。现在我们只需要把这两个半圆变成两个完整的圆周就可以了。
我们再把每个半圆分成无穷多个小弧，每个小弧的长度都是有理数乘以圆周长（也就是说，可以用分数表示）。比如说，我们可以把B和A’分成1/4、1/8、1/16、…等等长度的小弧。我们用B_1、B_2、B_3、…来表示B上的小弧，用A’_1、A’_2、A’_3、…来表示A’上的小弧。同样地，我们也可以把D和C’分成D_1、D_2、D_3、…和C’_1、C’_2、C’_3、…等等小弧。
现在我们要做一个很神奇的操作，就是把这些小弧重新排列组合，使得每个半圆变成一个完整的圆周。具体地说，我们要做以下几步：
我们先把B_1和D_1互换位置，也就是说，把B_1旋转180度放到D_1的位置上，把D_1旋转180度放到B_1的位置上。这样我们就得到了两个新的半圆，一个是B_1和C’组成的，另一个是D_1和A’组成的。
然后我们再把B_2和D_2互换位置，也就是说，把B_2旋转180度放到D_2的位置上，把D_2旋转180度放到B_2的位置上。这样我们又得到了两个新的半圆，一个是B_1B_2和C’组成的，另一个是D_1D_2和A’组成的。
依此类推，我们不断地把B_n和D_n互换位置，直到所有的小弧都互换完毕。这样我们最终得到了两个新的圆周，一个是B_1B_2…和C’_1C’_2…组成的，另一个是D_1D_2…和A’_1A’_2…组成的。
这样我们就完成了把一个圆周变成两个圆周的过程。你可能会问，这样做的合理性在哪里？我们不是把一个圆周变成了两个圆周吗？这样不是违反了面积的不变性吗？
这里就要用到一个关键的概念，就是可测性（measurability）。简单地说，可测性就是一个集合是否可以用数学的方法定义出它的面积或体积。我们平时所见的一般的几何图形，比如圆、矩形、球等，都是可测的，它们的面积或体积都有明确的公式。
但是在数学中，也存在一些非常奇怪的集合，它们的面积或体积是无法定义的，也就是说，它们是不可测的。比如说，康托集（Cantor set）就是一个不可测的集合，它是由无穷多个长度趋于零的线段组成的，它既不是空集也不是一个点，但是它却没有长度。
那么我们刚才操作的那些小弧呢？它们是可测的还是不可测的呢？答案是不可测的。因为我们把每个小弧都分成了无穷多个更小的弧，而且每个更小的弧都有理数倍于圆周长，这样就导致了这些小弧中包含了无穷多个相异的有理数，而这是不可能的。所以这些小弧实际上并不是连续的线段，而是由无穷多个离散的点组成的。这些点没有长度，也没有面积，所以我们无法用常规的方法来衡量它们。因此，我们在互换小弧的位置时，并没有改变圆周的面积，只是改变了圆周上点的分布而已。
这就是巴拿赫-塔斯基悖论背后的数学原理。它利用了选择公理、自由群、旋转群、不可测集等抽象而又深奥的概念，构造出了一个看似荒谬而又严格正确的结果。它展示了数学中可能存在着一些超越我们直觉和常识的现象，让我们对数学的奥妙和神秘有了更深刻和更广阔的认识。
