无穷小简史：一个数学概念与世界近代历史的发展进程
澎湃新闻2022-01-03 15:48
1632年8月10日，五个神秘的黑衣男子在一座昏暗的罗马教堂里集会，他们严肃地讨论着一个看似简单的命题——无穷小（Infinitesimals，亦称不可分量）是否存在。讨论的结果是，严令禁止无穷小的传播，永远不得传授乃至提及无穷小的概念。
但这究竟是为什么呢？难道教会就没有别的什么更重要的事情可做了吗？他们又是出于怎样的考虑，才会去禁止这样一个看似毫不相干的数学概念呢？
是的，站在我们现代人的角度来看，无穷小这个概念，只不过是数学大家族中普普通通的一员，没什么了不起的。但在伽利略所处的17世纪，这一切可不是人们想象的那么简单——围绕着无穷小概念的那场世纪大争论（由此引出了重要的极限概念），甚至可以说是一场关乎现代世界面貌的史诗级战争。
古希腊与无穷小悖论
事实上，早在古希腊时期，无穷小量的概念就如一个鬼影般反复出现在哲人们的脑海中，久久挥之不去。哲学家芝诺为此专门编写了四个悖论，并给它们分别起了一个有趣的名字。比如，“阿喀琉斯追乌龟”证明，敏捷的阿喀琉斯永远追不上缓慢的乌龟，虽然他的速度要比乌龟快得多，但他必须首先达到两者距离的1/2位置，接下来是1/4位置，然后是1/8位置，以此类推，他将永远追不上乌龟。然而，我们凭经验却认为，阿喀琉斯肯定会追上比他慢的对手，从而导致悖论。惊人巧合的是，几乎在同一时期，中国先秦哲学家庄子在其《天下篇》中表达了如出一辙的思想：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
“阿喀琉斯追乌龟”同时，毕达哥拉斯的得意门生希帕索斯惊恐地发现了另一个神秘的“怪物”——无理数（Irrational number）。例如，正方形的边与其对角线，用现代术语来说，我们称这两条线之间的比例是“根号2”，它是一个无理数，亦即两条线之间没有公约数。这意味着，无论你将这两条线分成多少份，或者分割地多么小，都永远得不到它们之间的一个公约数。这就导致了一个问题，如果两条线是不可通约的，那么它们就没有共同的组成部分，因此就不存在数学原子，也就是不可分量。这些由芝诺和毕达哥拉斯的追随者们在公元前6世纪和公元前5世纪发现的古老难题，彻底改变了古代数学的进程。如果正视这些难题和悖论，人们将不得不承认数学与物理世界之间达到一种完美契合的梦想是站不住脚的。无穷小在规模上，其数量与物理世界是不对应的，任何为实现两者的契合所作的努力最终都导致了矛盾和悖论。尽管数学推理的自身条件是严格而正确的，但它还是不能告诉我们这个世界的真实面目。在万物的核心似乎存在着一种神秘的东西，它能够逃脱最严格的数学推理，使得那些信仰理性有序和永恒不变的世界的人们惊恐不安，更令人不安的是它在社会和政治上的影响，对于那些寄希望于现有等级制度和社会稳定的团队来说，无穷小量似乎打开了一扇通往“叛乱”、“冲突”和“革命”大门。后来的两次影响深远的“无穷小战争”便是这一悖论的遥远回声。
从那时起，古典数学家们开始将视线从难以解决的无穷小问题上转移开来，继而关注几何学清晰的系统化演绎推理。柏拉图开创了这一领域，他把几何学作为自己哲学体系中的正确理性推理的模型，并且传说他还在自己学院的入口处刻上了“不懂几何者不得入内”的标语。尽管亚里士多德在许多问题上都与他的老师柏拉图见解不同，但他也赞同应该回避无穷小。在他的《物理学》第六册中，他权威性地详细讨论了连续体悖论，并得出结论：无穷小概念是错误的，连续量可以被无限分割。
《物理学》幸运的是，古代最伟大的数学家阿基米德充分认识到无穷小量这一概念作为一种数学工具的强大之处（尽管他也选择忽视了无穷小悖论），为了计算圆柱体或球体的体积，他把它们分割成无穷多个平行面，然后通过对其表面积求和得出正确的答案。即使存在争议，他仍然假设连续量是由不可分量构成，由此他最终得出了通过其他方式几乎不可能得到的结果。遗憾的是，后世的数学家们均绕开了他的这种新颖的数学方法，转而使用那些经过验证的几何方法以及不可辩驳的几何真理。直到16世纪，弗兰德、英国和意大利的一些数学家开始重拾阿基米德关于无穷小量的实验，重新审视其可能性。同阿基米德一样，他们计算了几何图形所围成的面积和体积，并通过进一步计算运动物体的速度和曲线的斜率，而超越了这位古代大师。然而，这时距离阿基米德的时代已经过去了1800年。于是，围绕着无穷小的两次世纪战争即将开启，交战的双方分别是对现有政治权威与宗教制度的捍卫者，以及对学术自由和政治改革的倡导者。而这场思想之战逐渐绵延到整个欧洲大陆，其中，最主要的两个战场分别是意大利和英国。在此，我们可以清晰地看到，一个看似简单的数学概念——无穷小——如何不可思议地引发和导致两个国家文明的盛衰转折，从而深刻影响了欧洲乃至世界近代历史的进程，并在很大程度上形塑了我们今天所生活的这个现代世界——它在方方面面都受到无穷小的影响和制约。
第一次“无穷小战争”与意大利的衰落
作为文艺复兴运动的起源地，意大利自中世纪中期以来一直领导着整个欧洲在各个领域的发明创造，包括政治、经济、艺术与科学。早在11-12世纪，意大利就诞生了第一批从黑暗时代兴起的城市，它们不仅在停滞已久的商业经济中发挥了至关重要的作用，还是不同政府形式的——从专制到共和——政治试验的实际发生地。13世纪，意大利商人成了欧洲首批最富有的银行家。从14世纪中叶开始，意大利领导了艺术和文化领域的复兴运动，其影响遍及整个欧洲。从彼得拉克到皮科·德拉·米兰多拉这样的人文主义者，从乔托到波提切利这样的画家，从多纳泰罗到米开朗基罗这样的雕塑家，从布鲁内莱斯基到贝尼尼这样的建筑师……这些杰出人才使意大利的文艺复兴运动成为人类历史的转折点。在科学领域，从莱昂·巴蒂斯塔·阿尔博蒂到莱昂纳多·皮萨诺·俾格莱 ，再到伽利略，意大利人对人类知识做出了重大贡献，并开辟了数学研究的新篇章。
因此，所有人都期待着意大利——这个在创造力和创新性方面无与伦比的国家——将再次引领数学乃至科学发展的新方向。然而，令人意外的是，整个事件走向了完全相反的方向。17世纪初，无穷小量的支持者主要是“近代科学之父”伽利略和他的两位弟子：卡瓦列里和托里切利。在接到卡瓦列里寄来的那封信之前，伽利略早已功成名就。当时的伽利略，正处在他一生中权力与声誉的巅峰。但是，卡瓦列里寄来的那封信，改变了这一切。
在信里，卡瓦列里提出了一个数学问题：假如我们给定一个具体的平面图形，并在其中画出一条直线，然后我们继续在这个平面图形当中，将所有能与第一条直线平行的直线全部画出来，那么，我们是否能将这些直线与这个平面图形等同起来呢？这个问题看似简单，但它却直指无穷小问题的核心矛盾——我们可以在任何一个平面图形上画出无穷条直线，假如我们给每一条直线设定一个宽度，不管这个数值有多小，这无穷多条直线将会累积成一个无穷大的平面，而不是我们初始设定的那个具体的平面图形，但假如每条直线的宽度都是零，无穷多条直线的宽度也依然是零，也无法得到我们给定的平面图形。
《伽利略传》是的，正是这样一个问题，两千年来一直困扰着自毕达哥拉斯以来的数学家和哲学家们。伽利略被这封信激起了兴趣，他很快给这个叫卡瓦列里的年轻人写了一封热情洋溢的回信，鼓励他继续将这个问题研究下去，同时，伽利略自己也开始进入这个神秘的领域。然而，耶稣会对他们的研究进行了无情的排挤和打压，这个旨在“培养学生对天主教绝对的盲目服从”的反宗教改革团体无法容忍无穷小量所带来的无序、矛盾和非理性。对耶稣会来说，数学代表着一种严格的理性秩序，并帮助它规范外部无序的世界，就像它内部等级森严的管理模式一样。最终，卡瓦列里停下了脚步，并试图退回到安全的距离，但这一切都无济于事，在那些反对他的人看来，卡瓦列里过去的所有研究方法，已经彻底违反了教会所允许的经典方法，他已经走得太远了。随后，与卡瓦列里同时代的另一位年轻人——托里切利接过了伽利略的火炬，将无穷小的研究推到了卡瓦列里未曾企及的高度。他在一篇发表于1644年的名为“关于抛物线的面积”的论文中，创造了一种全新的，被他自己命名为“不可分量法”的数学方法——这的确是一项了不起的发现，它为后来的数学家们开辟出一条全新的道路。遗憾的是，被耶稣会强制软禁长达十多年的伽利略，早已在两年前就含恨离世了。而托里切利自己也因为积劳成疾，在1647年去世。这位天才的数学家，死去的时候年仅39岁，令人扼腕。一个月后，他的师兄卡瓦列里也因病离世。
就这样，耶稣会战胜了无穷小的倡导者们，并占据了绝对的统治地位，最后一位公开捍卫无穷小量学说的意大利数学家安杰利，在圣杰罗姆会于1668年被教皇突然解散后不再发声。那个属于伽利略、卡瓦列里和托里切利的意大利天才辈出的数学黄金年代，在短短数年间烟消云散了。至此，领导数学创新的重心悄然发生了偏移，它正在跨越阿尔卑斯山，向德国、法国、英国与瑞士发展。正是在这些北方国家，卡瓦列里和托里切利的“不可分量法”将首先发展成“无穷小微积分”（infinitesimals calculus），然后又发展成了更广泛的数学研究领域——分析学。意大利作为该学说的起源地，现在已经成了数学领域的一潭死水。18世纪60年代，当都灵年轻的数学天才拉格朗日力争成为“伟大的几何学家”时，他不得不离开故土，首先去了柏林，然后又到了巴黎。对于后世的人们来说，他一直是个法国人，约瑟夫·路易·拉格朗日——人类历史上最伟大的数学家之一。
虽然第一次“无穷小战争”已经结束了，但如果是伽利略学派战胜耶稣会的话，我们可以想象意大利将会朝着另一个方向发展。伽利略的学术思想很可能仍处于当时数学与科学的最前沿，并很有可能在18-19世纪引领数学与科学取得辉煌胜利。作为文艺复兴运动的起源地，意大利将再次成为哲学、科学与文化的启蒙中心，那些自由与民主的思想会来自于佛罗伦萨、米兰和罗马的广场，而非来自于巴黎和伦敦。不难想象，意大利的许多小公国会为更具代表性的政府让位，它的伟大城市会成为蓬勃发展的工业与商业中心，它们完全有实力与北部的对手展开竞争。但可悲的事实却是：到17世纪末，无穷小学说已经被耶稣会完全镇压下去。在意大利，一场持续数百年的衰退和萧条即将上演。
第二次“无穷小战争”与英国的崛起
伽利略死后18年，英国皇家学会于1660年成立。在之后的数百年间，它一直是世界上最权威的科学研究机构，历史上许多最伟大的科学家，例如牛顿、拉瓦锡、富兰克林、巴贝奇、开尔文、达尔文、卢瑟福、爱因斯坦，以及霍金，这一长串震古烁今的大人物，都曾是皇家学会的会员。而这里，也将成为第二次“无穷小战争”的决胜之地。决战的双方已经登上了舞台，一方是白发苍苍的老者托马斯·霍布斯，曾写出《利维坦》这部政治学杰作的顶尖作家，同时也是有史以来最伟大的政治哲学家之一；另一方则是牛津大学的顶尖数学家约翰·沃利斯。针对霍布斯的数学方法和专制政治观，两人展开了一场长达数十年的斗争。
霍布斯与数学的邂逅可以算得上是一段奇遇。直到四十岁时，他才与数学结缘。据说，是因为他偶然在别人的书桌上看到了一本《几何原本》，因为无聊便拿起来随手翻阅。这随意的一瞥，便为他打开了一扇新的大门。从此，霍布斯开始钻研几何学，认为“几何学是迄今为止上帝赐予人类的唯一科学”，并以几何学的严谨和系统来构建自己的政治哲学，这正是他在《利维坦》中所使用的推理方法：人的本性会导致自然状态，从而导致内战，从而导致个人意志的屈从，从而导致利维坦。因此，利维坦是唯一可行的政治秩序。而无穷小就像一个擅自闯入数学领域的不速之客，它破坏了明白无误的数学合理性，进而又会破坏社会、宗教和政治的秩序。
《利维坦》但是，霍布斯宿命中的对手约翰·沃利斯也登上了历史舞台，他是一位年轻的牧师，也是牛顿的剑桥学长。沃利斯早在求学于剑桥大学的时候，就对数学产生了极强的兴趣。在沃利斯看来，知识的最高形式是基于感性的，是能够“看出”甚至是“品尝出”的真理——这正是沃利斯与霍布斯的根本分歧所在——霍布斯极为鄙视这种感性的知识。沃利斯可以说是意大利数学思想的传承者，他继承了卡瓦列里和托里切利发现的“不可分量”思想，并于1656年在此基础上写成了《无穷算术》。在这部著作中，沃利斯向霍布斯发起了终极挑战。他在书中天才般地引入了一个表示无穷大的符号∞，并用级数求圆面积的“化圆为方”法，体现了利用无穷小进行级数求和的思想。两人争论的关键问题正是：霍布斯拒绝接受无穷小概念以及使用无穷小的数学方法。他坚持认为，数学必须从第一原理开始，一步一步地进行演绎推理，最终得出更为复杂但同样具有确定性的真理。在这个证明过程中，所有的几何对象都必须从简单图形开始进行构造，仅能利用简单而且不证自明的对点、线、面等的定义。霍布斯相信，通过这种方式，可以构造出一个完全理性、绝对透明并且充分可知的世界。在这样的世界中，将不会再有任何秘密可言，它的规则将像几何法则一样简单而绝对，正如政治秩序中的利维坦。
相反，沃利斯的数学并没有试图构建一个数学世界，而是去研究这个客观存在的世界。沃利斯的世界是神秘的、有待发现的，无穷小的模糊性也是一个积极的特征，不能因为这种模糊性而抹杀它的存在。前进的道路本就是要小心地、实验性地使用任何可能有效的方法，来揭开世界的奥秘。任何试图构造一个完全理性的世界的企图，只会是一条死路。同时，霍布斯视为混乱与冲突根源的异议（以及产生异议的线索）在沃利斯看来并不可怕，而恰恰为数学提供了另一种可能的选择。沃利斯和皇家学会的其他成员认为，正是教条主义和不宽容导致了17世纪40-50年代的灾难。
约翰·沃利斯两人之间这场旷日持久的斗争持续了将近20年。霍布斯更加文采出众和才思敏捷，但沃利斯拥有更高的谴责热情和声势。沃利斯很好地利用了自己在牛津大学和皇家学会的职位优势，逐步孤立了霍布斯，并在英国学术界诋毁他的声誉。随着时间的推移，霍布斯不再被视为一个惊人敬畏的科学家和数学家，而只是一位政治哲学家。最终，沃利斯赢了！他的《无穷算术》得到了英国数学界的一致认可，更重要的是，一位剑桥大学的年轻学生从这本著作中得到了许多有益的启发——这位学生名叫伊萨克·牛顿。1665年，23岁的牛顿受到沃利斯《无穷算术》的启发，发明了自己版本的无穷小数学。在接下来的几十年里，牛顿的微积分，以及其竞争对手莱布尼兹的微积分，均得到了广泛流传。此后，微积分转化为了大量的数学实践和众多的数学分支领域。数学分析——这个以微积分为起点的新兴数学领域，成为18世纪数学的主要分支，并且成为该学科的主要支柱之一。它使数学研究能够应用到几乎所有领域，从行星运动到琴弦振动，从蒸汽机到电动力学——几乎囊括了从古至今的物理学的各个领域。这是一场伟大的数学革命，这场革命将改变未来的整个世界和人类历史。
就这样，历史像开了一个大大的玩笑：在意大利，耶稣会战胜了伽利略学派；而在英国，则是沃利斯战胜了霍布斯。如果请一位17世纪30年代的观察家来预测数学在两个国家的命运的话，他几乎会得出完全相反的预测结论。意大利一直保持着杰出的数学传统，而英国在之前从来没有出现过任何一位著名的几何学家。但是，真实的历史发展却出乎所有人的意料。针对无穷小的两次战争之后，高等数学在意大利停止了发展步伐，而英国的数学迅速崛起，成为欧洲主要的具有数学传统的国家，或许只有法国可以与之一争高下，这为后来日不落帝国的崛起和兴盛奠定了重要基础。
无穷小与现代世界
众所周知，牛顿利用微积分创建了一门新的物理学，并与万有引力一起在数学上描述了整个“世界体系”。牛顿划时代的巨著《自然哲学的数学原理》迟至1687年才首次出版，此时霍布斯已经去世8年。如果傲慢的霍布斯有生之年能够看到这一切，真不知该作何感想。牛顿的丰硕成果在18世纪得到了延续，一些杰出的数学家如丹尼尔·伯努利、莱昂哈德·欧拉以及让·达朗贝尔，他们为流动的运动、弦的振动以及气流等提供了一般性的数学描述。他们的继承者拉格朗日和拉普拉斯已经能用一组精确的“微分方程”（differential equations）来描述宇宙万物的运行机制了。从当时直到现在，数学分析（更广泛的微积分形式）一直是物理学家用来解释自然现象的基本工具。
《自然哲学的数学原理》更重要的是，微积分对工程技术产生了革命性的深远影响。19世纪，由约瑟夫·傅里叶发明的热传导数学理论，以及由威廉·汤姆森发明的热力学，使设计和生产更加高效的蒸汽机成为可能。19世纪60年代，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦发明了著名的“麦克斯韦方程”，即一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的堪称完美的偏微分方程。后来，电动机、发电机以及无线通信的发明都得益于他的研究成果。此外，微积分在很多领域都起到了基础性作用，包括空气动力学（使空中旅行成为可能）、流体力学（航运、水的收集与分配）、电子学、土木工程、建筑学、商业模式等等。显而易见的是，如果没有无穷小概念，便没有微积分及其思想，那么我们身处的这个现代世界将变得难以想象的贫乏与落后。当然，关于无穷小的战争也改变了人类近现代历史的进程。在意大利逐渐落后的年代里，英国成长为最有活力、最富远见以及发展最快的欧洲国家。长期以来被视为野蛮与半野蛮的英国，一直处于欧洲文明的北部边缘。但自18世纪以来，它不仅成为欧洲文化和科学的前沿阵地，而且是政治多元化和经济成功的典范。在此，呈现的是现代性的另一番景象，它在各个方面都与意大利相反：在这里没有教条的一致性，对于异议和多元化展现出了空前的开放性。在政治、宗教和经济上，英国都成了一个可以包容多种声音的国家。在这里，可以公开争论相互对立的观点和利益，基本没有压迫政策，这种自由和民主使得英国走上了获取财富和权力的道路。或许，当我们回眸20世纪的惨烈历史时，会更加懂得为何意大利产生了墨索里尼这样的法西斯独裁者，而英国成了世界反法西斯战争的重要力量。
放眼当时的英国，政治和宗教的多元化与科学、学术和经济的开放性可谓齐头并进，相得益彰。在光荣革命之后，随之而来的是1689年的《宽容法案》，它保证那些不信仰国教的新教教徒免受迫害。伦敦皇家学会与法国科学院很快成为欧洲乃至全世界领先的科学研究机构，英国的科学为整个欧洲树立了标准。在学术界，英国成为了哲学与政治的公共辩论场所，其中一些杰出人物如约翰·洛克、乔纳森·斯威夫特以及艾德蒙·伯克采取了反对立场，但仍有杰出的论断。政治自由化也促进了经济自由化和空前的私有企业规模。累积的资本和不断扩大的车间规模使投资于新技术变得有利可图，特别是蒸汽机。其结果便是，到18世纪后期，英国称为全世界第一个工业化国家，遥遥领先于其在欧洲大陆的所有对手。
连续体是否由无穷小量构成，这似乎从来都是一个难解的问题，我们很难准确衡量它所释放的全部能量。但当这两场影响深远的战争在17世纪被引燃的时候，处于交战的双方都认为，对于即将到来的现代世界，这个问题的答案将会影响到人类生活的方方面面。他们是正确的：当一切尘埃落定的时候，无穷小量的捍卫者赢得了最终胜利，他们的敌人被击败了。于是，一个焕然一新的现代世界呈现在所有人的面前。
最后，向阿基米德致敬，向伽利略致敬，向沃利斯致敬，向所有无穷小量学说的捍卫者们致敬！没有他们，就没有我们现在身处的这个美丽新世界。
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