文章目录
前言
1 引例-零件加工问题
2 数据插值的计算机制
3 数据插值的实现方法
3 应用案例1-粮储仓的通风控制问题
4 应用案例2-机动车刹车距离问题
5 应用案例3-沙盘制作问题
前言
通过查阅本文，可以轻松掌握利用MATLAB进行数据插值。
1 引例-零件加工问题
在飞机制造中，机翼的加工是一项关键技术。由于机翼尺寸很大，通常在图纸中只能标出一些关键点的数据。下表给出了某型飞机机翼的下缘轮廓线数据，求x每改变0.1时y的值。
x=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];
y=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6];
x1=0:0.1:15;
y1=interp1(x,y,x1,'spline');
plot(x1,y1)
2 数据插值的计算机制
从数学上来说，数据插值是一种函数逼近的方法。
y=f(x)
它的实质就是用一个近似函数 ( x )来逼近未知函数 f ( x ) ，然后利用这个近似函数 ( x )进行插值。
3 数据插值的实现方法
数据插值的实现方法
在MATLAB中，一维插值函数为interp1（），其调用格式为：
Y1=interp1（X，Y，X1，method）
该语句将根据X、Y的值，计算函数在X1处的值。其中，X、Y是两个等长的已知向量，分别表示采样点和采样值。X1是一个向量或标量，表示要插值的点。
method参数用于指定插值方法，常用的取值有以下四种：
（1）linear：线性插值，默认方法。将与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线上选取对应插值点的数据。
（2）nearest：最近点插值。选择最近样本点的值作为插值数据。
（3）pchip：分段3次埃尔米特插值。采用分段三次多项式，除满足插值条件，还需满足在若干节点处相邻段插值函数的一阶导数相等，使得曲线光滑的同时，还具有保形性。
（4）spline：3次样条插值。每个分段内构造一个三次多项式，使其插值函数除满足插值条件外，还要求在各节点处具有连续的一阶和二阶导数。
思考：为什么这两种插值方法都用3次多项式而不用更高次的？
这里就要提一下龙格现象了,龙格(Runge)发现多项式插值并非次数越高越精确!
四种方法的比较：
x=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];
y=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6];
x1=0:0.1:15;
y1=interp1(x,y,x1,'spline'); %3次样条插值
subplot(2,2,1)
plot(x1,y1)
legend('3次样条插值')
hold on
y2=interp1(x,y,x1,'linear'); %线性插值
subplot(2,2,2)
plot(x1,y2,'r')
legend('线性插值')
y3=interp1(x,y,x1,'pchip'); %分段3次埃尔米特插值
subplot(2,2,3)
plot(x1,y3,'g')
legend('分段3次埃尔米特插值')
y4=interp1(x,y,x1,'nearest'); %最近点插值
subplot(2,2,4)
plot(x1,y4,'b')
legend('最近点插值')
线性插值和最近点插值方法比较简单。其中线性插值方法的计算量与样本点n无关。n越大，误差越小。
3次埃尔米特插值和3次样条插值都能保证曲线的光滑性。相比较而言，3次埃尔米特插值具有保形性；而3次样条插值要求其二阶导数也连续，所以插值函数的性态更好。
二维插值函数：
MATLAB中的二维插值函数为interp2（），其调用格式为：
Z1=interp2（X，Y，Z，X1，Y1，method）
其中，X、Y是两个向量，表示两个参数的采样点，Z是采样点对应的函数值。X1、Y1是两个标量或向量，表示要插值的点。
3 应用案例1-粮储仓的通风控制问题
在某粮情自动测控系统中，根据粮温、粮湿计算平衡点湿度，与大气湿度进行比较，再根据通风模拟情况决定是否自动进行通风。已测得平衡点湿度与粮温、粮湿关系的部分数据如下表，请推算相应范围内温度每变化1度、湿度每变化1个点的平衡点湿度。
x=20:10:90;
y=(0:5:20)';
z=[8.9,10.32,11.3,12.5,13.9,15.3,17.8,21.3;8.7,10.8,11,12.1,13.2,14.8,16.55,20.8;8.3,9.65,10.88,12,13.2,14.6,16.4,20.5;8.1,9.4,10.7,11.9,13.1,14.5,16.2,20.3;8.1,9.2,10.8,12,13.2,14.8,16.9,20.9];
xi=20:90;
yi=(0:20)';
zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline');
surf(xi,yi,zi)
4 应用案例2-机动车刹车距离问题
在车辆行驶中，从驾驶员看到障碍物开始，到作出判断而采取制动措施停车所需的最短距离叫停车视距。停车视距由三部分组成：一是驾驶员反应时间内行驶的距离（即反应距离）；二是开始制动到车辆完全停止所行驶的距离（即制动距离）；三是车辆停止时与障碍物应该保持的安全距离。其中，制动距离主要与行驶速度和路面类型有关。根据测试，某型车辆在潮湿天气于沥青路面行驶时，其行车速度（单位：km/h）与制动距离（单位：m）的关系如下表所示。
假设驾驶员的反应时间为10s，安全距离为10m。请问：
①根据某驾驶员的实际视力和视觉习惯，其驾驶时的有效视距为120m，则其在该路面行车时，时速最高不能超过多少（结果取整）？
②若以表中数据为参考，设计一条最高时速为125km/h的高速公路，则设计人员应该保证驾驶者在公路上任一点的可视距离为多少米？
v=20:10:150;
vs=v.*(1000/3600);
d1=10.*vs;
d2=[3.15,7.08,12.59,19.68,28.34,38.57,50.4,63.75,78.71,95.22,113.29,132.93,154.12,176.87];
d3=10;
d=d1+d2+d3;
vi=20:1:150;
di=interp1(v,d,vi,'spline');
x=abs(di-120);
[y,i]=sort(x);
vi(i(1))
plot(vi,di,vi(i(1)),di(i(1)),'rp')
停车视距的增长随着车速增加呈非线性增长。速度越快，要求视线越远。
第二问：设计一条最高时速为125km/h的高速公路，则设计人员应该保证驾驶者在公路上任一点的可视距离为多少米？
>>j=find(vi==125);
>>di(j)
>>ans=
480.14
>>plot(vi,di,125,480.14,'rp')
5 应用案例3-沙盘制作问题
某地面部队分成红蓝两方在指定的陌生区域（平面区域[0，2000]*[0，2000]内，单位：m）进行作战演习。在演习过程中，红方侦查单位已经测得一些地点的高程如下表所示。
①根据表中数据，制作军事沙盘。
②在演习范围内，占领最大高地的一方将获得居高临下的优势。请问红方应第一时间抢占哪块区域。
解题思路：
第一问：用二维插值估算数据，以方便制作军事沙盘。
第二问：在插值的基础上，绘制等高线图，找到最大高地。
x=0:200:1800;
y=x';
z=[2000,2000,2001,1992,1954,1938,1972,1995,1999,1999;
2000,2002,2006,1908,1533,1381,1728,1959,1998,2000;
2000,2005,2043,1921,977,897,1310,1930,2003,2000;
1997,1978,2009,2463,2374,1445,1931,2209,2050,2003;
1992,1892,1566,1971,2768,2111,2653,2610,2121,2007;
1991,1875,1511,1556,2221,1986,2660,2601,2119,2007;
1996,1950,1797,2057,2849,2798,2608,2303,2052,2003;
1999,1999,2079,2685,3390,3384,2781,2165,2016,2000;
2000,2002,2043,2271,2668,2668,2277,2049,2003,2000;
2000,2000,2004,2027,2067,2067,2027,2004,2000,2000];
surf(x,y,z);
x1=0:100:1800;
y1=x1';
z1=interp2(x,y,z,x1,y1,'spline');
surf(x1,y1,z1);
x2=0:50:1800;
y2=x2';
z2=interp2(x1,y1,z1,x2,y2,'spline');
surf(x2,y2,z2);
contour(x2,y2,z2,12)
从图中可以看出最大高地的位置。
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