中华文明在其持续五千多年的发展过程中，积累了丰富的与自然打交道的经验，形成了自己独特的科学技术。对中国古代科学技术的博大精深，著名的中国科技史家、英国的李约瑟博士在其七卷本的皇皇巨著《中国科学技术史》(Science and Civilization in China)中有系统论述。限于篇幅，本讲不可能对整个中国科学技术史体系作细致介绍，我们只能采用解剖麻雀的方法，撷取中国科技史长河奔腾向前过程中涌现的一些浪花，展示给广大读者。
一 天文学上的旷世之争
中国古代科学技术在其长期发展过程中，逐渐形成了农学、医学、天文学、算学这四大优势学科。在这四大学科中，我们对天文学特别感兴趣，这是因为，在科学史上，天文学的发展，历来波澜起伏、曲折复杂，扣人心弦。在西方，人们熟知的是哥白尼日心说与托勒密地心说旷日持久的争论，正是这场争论，推动了天文学的发展，导致天文学领域哥白尼革命的发生，最终促成了近代科学的建立。殊不知，在东方的中国，在对宇宙结构的认识上，也存在着类似的旷世之争，这就是中国天文学史上著名的浑盖之争。
对宇宙结构的认识，是中国古代天文学的重要内容之一。中国人很早就形成了自己对宇宙形状的认识，一开始，人们主张“天圆地方”，认为天是圆形平盖，在人的头顶上方悬置，地是方的，静止不动。但这种认识并没有形成系统的学说，因为它本身存在着比较明显的漏洞。正因为如此，当曾子的学生单居离向他询问是否果真“天圆地方”时，曾子一针见血地指出：“如诚天圆而地方，则是四角之不揜（yǎn）也。”曾子并不否认“天圆地方”说的存在，但他认为那说的不是天地具体形状，而是天地所遵循的规律。他引述孔子之语，把“天圆地方”说成是“天道曰圆，地道曰方”，即天所遵循的规律在性质上属于“圆”，转动不休，地遵循的规律在性质上则属于“方”，安谧静止。孔子师徒的说法，固然可以弥补“天圆地方”说在形式上的缺陷，但这种修补却也使该说丧失了作为一种宇宙结构学说而存在的资格，因为它所谈论的已经不再是天地的具体形状了。
替代“天圆地方”说的是宣夜说。宣夜说产生的时间已经不可考，现在人们所知道的宣夜说，是西汉负责图书管理的高级官员郗萌根据其老师一代一代的讲述而记载下来的，《晋书·天文志》对此有具体描述：
宣夜之书亡，惟汉秘书郎郗萌记先师相传云：“天了无质，仰而瞻之，高远无极，眼瞀（mào）精绝，故苍苍然也。譬之旁望远道之黄山而皆青，俯察千仞之深谷而窈黑，夫青非真色，而黑非有体也。日月众星，自然浮生虚空之中，其行其止皆须气焉。是以七曜或逝或住，或顺或逆，伏见无常，进退不同，由乎无所根系，故各异也。故辰极常居其所，而北斗不与众星西没也。”
文中提到的“辰极”，指的是北极星；“七曜（yào）”，指的是日月和金木水火土五大行星。五星在天空的运行，看上去很不规范，它们在恒星背景上有顺行，有逆行，有时候看得见，有时候看不见，速度前后也不一致。宣夜说认为这是由于这些天体是自由漂浮在虚空中的，它们彼此没有联系、没有相互作用，因此彼此的运动相互独立，没有共同的规律可循。天看上去有一定的形体和质地，那是由于它太高了、太广阔了，导致人们在看的时候产生了错觉。天的本质是虚空，所有的天体都自由悬浮在这个虚空之中。
宣夜说主张的是一种无限空间的宇宙图景，认为日月星辰自由漂浮在虚空之中。这与古希腊人的水晶天说完全不同。希腊人认为天是某种特殊材料形成的固体天球，日月星辰分布在不同的球层上。在欧洲历史上，这种固体天球观念根深蒂固，直到16世纪，在第谷出色的天文观测工作的冲击下，人们才逐渐放弃了这种观念。与西方的水晶天说相比，宣夜说的描述似乎更接近宇宙的实际情形，正因为如此，熟知西方天文学发展史的科学史家如李约瑟等在了解了宣夜说的具体内容后，对之给予了很高的评价。
但是，从另一个视角来看，宣夜说的重要性就相形见绌了。从对科学发展的作用来说，该学说只是一种初级的宇宙理论，它没有与数学结合，不能用以编制历法，不能预测日月星辰的运行，一句话，不能给人们提供有用的信息，这决定了它在天文学界必然要处于被边缘化的状态。更重要的是，它在本质上是反理性的，因为它认为天体的运动彼此独立、互不相关，无规律可寻。这种主张，杜绝了人们探寻自然规律的可能性，所以，它不利于科学发展，是一种没有前途的学说。正因为如此，到了东汉末年，已经没有人再关注它了。东汉著名学者蔡邕在总结当时天文学界的状况时，一针见血地指出了宣夜说的处境：“宣夜之学绝，无师法。”宣夜说被天文学家们所抛弃，是历史的必然。
中国古代第一个堪称科学理论的宇宙结构学说是盖天说。与宣夜说相比，盖天说有其经典流布于世，那就是《周髀算经》。此外，《晋书》、《隋书》的《天文志》也对盖天说的核心内容有所记载。下面是《晋书·天文志》的有关记载：
其言天似盖笠，地法覆槃，天地各中高外下。北极之下为天地之中，其地最高，而滂淹四陨，三光隐映，以为昼夜。天中高于外衡冬至日之所在六万里，北极下地高于外衡下地亦六万里，外衡高于北极下地二万里。天地隆高相从，日去地恒八万里。日丽天而平转，分冬夏之间日所行道为七衡六间。每衡周径里数，各依算术，用句股重差推晷（gǔi）影极游，以为远近之数，皆得于表股者也。
盖天说主张天地是两个中央凸起的平行平面，天在上，地在下，天离地的距离是8万里，日月星辰围绕着北极依附在天壳上运动。太阳依附在天壳上运行的轨道可分为七衡六间，每衡每间的距离，都可以用立竿测影的方法，运用勾股定理和其他数学方法推算出来。天地之间的距离，也是用这种方法推算出来的。
盖天说突破了人们日常观测中形成的天是个半球的生活经验，提出了平天平地说，并且找到了适合这种模型的数学方法，那就是在立竿测影基础上用勾股定理和相似三角形对应边成比例的性质，测算各种天文数据。该说能够解释人们日常生活中见到的各种天象，能够预测日月星辰的运行，还能够编制历法，满足社会需求。该说构思的七衡六间，可以用来准确地预报二十四节气，具有很强的应用价值。由此，该说能够为人们提供有价值的信息，它对日月星辰运行的预测、对二十四节气的预报，能够接受观测实践的检验，因此，它是富有科学意义的宇宙结构理论，尽管它对宇宙结构本身的描述是错误的。
盖天说在汉武帝时期遇到了浑天说的有力挑战。事情起源于历法编制。当时太史令司马迁向汉武帝上书，建议修订一部新的历法，叫做《太初历》。汉武帝采纳了他的建议，命令他组织学者制订《太初历》。司马迁组织的修历队伍工作了一段时间后，参加者之间观点上出现了分歧，来自四川的民间天文学家落下闳提出了一种新的主张：天是个圆球，天包着地，天大而地小。这种主张，后来被人们称为浑天说。浑天说与司马迁等信奉的盖天说本质上完全不同，盖天说主张天在上，地在下，天地等大，而浑天说主张天在外，地在内，天大地小。双方主张的宇宙结构不同，所采用的测量仪器和测量方法也不同，这就导致了在修历过程中的争论。双方争论得非常激烈，以至于到了不能在一起工作的程度。对此，汉武帝采用的解决办法是让他们分别制订自己心仪的历法，然后拿出来接受检验，谁的历法更符合实际，就用谁的历法。最后的结果是浑天说者邓平等人制订的历法与实际天象符合得最好，于是就采纳了邓平的历法。这就是中国历史上著名的《太初历》的由来。
《太初历》的制订问题画上了句号，但由修订《太初历》所引发的浑盖之争却拉开了帷幕。在此后的一千多年的时间里，究竟是浑天说正确，还是盖天说合理，天文学界的争论一直不绝如缕，总的趋势是信奉浑天说的人越来越多，浑天说逐渐成为天文学界对宇宙结构的认识的主流。
浑盖之争涉及到与宇宙结构问题有关的方方面面。西汉末年，著名学者扬雄先是相信盖天说，后来在与另一位学者桓谭的争论中，被桓谭说服，转而信奉浑天说。他经过细致思考，发现了盖天说的诸多破绽，撰写了著名的《难盖天八事》一文，从观测依据到数理结构等八个方面，逐一对盖天说作了批驳。比如，他提出，按盖天说的说法，天至高，地至卑，太阳依附在天壳上运动，也是高高在上的，人之所以看到太阳从地平线下升起，是由于太阳太高了，导致人产生了视觉错误的缘故。但是，即使人眼会因观察对象的距离远而产生视觉错乱，水平面和光线的传播是客观的，它们是不会出错的，那么就在高山顶上取一个水平面，以之判断日的出没。实验证明太阳确实是从水平面之下升起的，光线也是从下向上传播的，这与盖天说的推论完全相反，证明盖天说是错误的。这是扬雄从观测依据的角度对盖天说所作的批驳。整体来说，他从八个方面对盖天说所作的批驳，有理有据，是盖天说无法辩解的。
但是浑天说也有自己的软肋。浑天说主张天在外，表里有水，地在内，漂浮水上。这一主张成为盖天说批驳的重点，东汉著名学者王充就曾一针见血地指出：
旧说，天转从地下过。今据地一丈辄有水，天何得从水中行乎？甚不然也。
王充的责难是颇有说服力的，因为按当时的人的理解，太阳是依附在天球上的，天从水中出入，就意味着太阳这个大火球也要从水中出入，这是不可思议的。面对王充的责难，浑天说者的态度是，只要有充足的证据证明太阳是从地平线下升起，又落到地平线下面，它即使出入于水中又有何妨？晋朝的葛洪就针对王充的责难，提出了判断浑天说是否成立的判据：
日之入西方，视之稍稍去，初尚有半，如横破镜之状，须臾沦没矣。若如王生之言，日转北去者，其北都没之顷，宜先如竖破镜之状，不应如横破镜也。
葛洪以太阳落入地平线时星现出“横破镜”的状态这一事实作为依据，指出这种现象与盖天说的推论相反，证明盖天说是错误的。他提出的判据是有说服力的。从观测的角度，只能承认浑天说是较为正确的。至于太阳从水中出没的问题，南北朝时期的何承天给出了自己的解释：
百川发源，皆自山出，由高趋下，归注于海。日为阳精，光曜炎炽，一夜入水，所经焦竭。百川归注，足以相补，故旱不为减，浸不为益。
何承天的构思很有意思，他的辩解，表现了浑天说者为修补自己理论上的漏洞所作的努力。但这种努力，并未起到太大的作用，这是因为浑天说有一个根本的缺陷——它没有地球观念，没有意识到海洋也是大地的一部分。
浑盖双方的激烈争辩，引起了人们的关注。在这场争论的影响下，更多的人投入到了对宇宙结构问题的研究之中，提出了更多的宇宙结构学说。例如晋朝的虞喜就提出了《安天论》，虞耸提出了《穹天论》，东吴的姚信则提述：出了《昕（xīn）天论》，一时间，诸说蜂起，人们辩论不休，隋朝的刘焯对之有形象描述：
盖及宣夜，三说并驱；平、昕、安、穹，四天腾沸。
透过刘焯的描述，我们不难想象古人讨论宇宙结构问题的热闹程度。
甚至一直到了12世纪的南宋，大学者朱熹仍然在关注着浑天说和盖天说究竟谁是正确的这一问题。他的态度很明确：
有能说盖天者，欲令作一盖天仪，不知可否。或云似伞样。如此，则四旁须有漏风处，故不若浑天之可为仪也。
朱熹是从天文观测仪器的制作角度反对盖天说的。他的话表明，从公元前2世纪浑盖之争登上历史舞台，一直到公元12世纪，学者们仍然在讨论浑天说和盖天说的孰是孰非。中国古人对天体结构问题的关注程度，由此可见一斑。
纵观中国古代的这场旷世的学术之争，我们发现，古人在这场争论中秉持着一个重要原则：判断一个学说是否正确，关键在于其是否符合实际情况，而不是看其是否遵循某种先验的哲学观念。比如，古人一直认为天地是由阴阳二气生成的，从这个观念出发，如果承认这一前提，就得承认盖天说是正确的，因为阳气轻清，阴气重浊，轻清者上浮为天，重浊者下凝为地，这样所导致的，必然是盖天说所主张的宇宙结构模式。但古人在争论中，并不以阴阳学说作为判断依据，他们所关注的，是究竟哪种学说更符合观测结果。对此，南北朝时期著名科学家祖暅（xǔan）的一段话可作代表：
自古论天者多矣，而群氏纠纷，至相非毁。窃览同异，稽之典经，仰观辰极，傍瞩四维，睹日月之升降，察五星之见伏，校之以仪象，覆之以晷（gǔi）漏，则浑天之理，信而有微。
祖暅比较了浑盖双方的差异，在查阅典籍记载的基础上，通过实地天文观测，并使用仪器进行校验，发现浑天说更符合实际，这才得出了浑天说可信这一结论。浑盖之争过程中表现出来的重视实际校验的这种做法，是中国古代天文学的一个优秀传统。这一传统与希腊天文学的某些特点有明显的不同。
除了不以先验的哲学信念为依据判断是非之外浑盖之争在其它方面的表现也完全符合学术发展规律。政治和宗教等非学术因素没有介入到这场争论之中。南北朝时，南齐的梁武帝偏爱盖天说，曾集合群臣，公开宣讲盖天说。对于他的主张，天文学家中不以为然者大有人在，但梁武帝并未采用暴力手段迫害那些不相信盖天说者。佛教传入中国后，佛教主张的宇宙结构模式与浑天说亦不一致，但中国历史上从未有过以佛教学说为依据，强行要求人们放弃自己所信奉的宇宙结构学说的事例。宗教因素没有成为裁决浑盖是非的依据，也没有人因为信奉某种宇宙理论而受到政治或宗教上的迫害。这些，无疑都是浑盖之争中值得肯定的地方。
持续了一千三四百年之久的浑盖之争，是中国天文学史上的一件大事，它贯穿于这个时期中国天文学的发展过程之中，促成了与之相关的众多重要科学问题的解决，促成了中国古代天文学诸多重要成就的获得。例如，被后人奉为中国古代历法圭臬（nìe）的《太初历》，是浑盖之争的直接产物；再如，在中国历史上赫赫有名的“小儿辩日”问题，是在浑盖之争过程中得到了合理解答的；又如，中国数学史上著名的勾股定理以及相关的测高望远之术，是在浑盖之争中为发展天文测算方法而形成的；更如，唐代僧一行组织的天文大地测量，是为了解决浑盖之争的一个重要命题而得以实施的；还如，中国天文仪器的发展，亦与浑盖之争息息相关……类似例子，不胜枚举，这表明浑盖之争在中国历史上有着延续时间长、参与人员多、涉及面广、讨论内容丰富、后续影响大等特点，它表现了中国古人对宇宙问题的关注程度，体现了中国古人对待科学问题的态度。这种规模和深度的争论即使在世界文明史上亦不多见。我们完全有理由说，浑盖之争，作为中国历史上最引人注目的学术论争之一，将永载中华文明发展的历史史册。
二 传统数学的发展
在中国科学史上，数学历来是人们关注的重点之一。这是由于，在古代中国，数学和天文学、医学、各种实用技术一样，取得过辉煌的成就，为世界文明的发展做出了应有的贡献。
数学在古代社会具有很重要的地位。人们重视数学，以仰视的角度看待数学家的活动，甚至以神话的方式，渲染数学家的技艺，赞颂数学家的成就。古书《西京杂记》卷四曾记载了两位精通算术人士的神奇传说：
安定嵩真、元英曹元理，并明算术，皆成帝时人。真尝自算其年寿七十三，绥和元年正月二十五日晡时死，书其壁以记之。至二十四日哺时死。其妻曰：“见真算时长下一算，欲以告之，虑脱真旨，故不敢言。今果校一日。”真又曰：“北邙（máng）青陇上孤槚之西四丈所，凿之入七尺，吾欲葬此地。”及真死，依言往掘，得古时空棹，即以葬焉。
元理尝从其友人陈广汉。广汉曰：“吾有二囷（qūn）米，忘其石数，子为计之。”元理以食筋十余转，曰：“东囷七百四十九石二升七合。”又十余转，曰：“西囷六百九十七石八斗。”遂大署囷门。后出米，西囷六百九十七石七斗九升。中有一鼠，大堪一升。东囷不差圭合。元理后岁复过广汉，广汉以米数告之。元理以手击床，曰：“遂不知鼠之殊米，不如剥面皮矣。”
这两条记载，均属夸大其词，因为它们所说的事例，并非数学所能完成。但由这些事例，我们不难看出算术在古人心目中所具有的神奇性能。在古人心目中，数学不但神奇，而且重要，正因为如此，他们把数学书命名为《算经)，而且一下子就命名了十部，称为《算经十书》。这种做法，充分表现了古人对数学的尊崇。因为在古代，只有极为重要的书籍才有资格以“经”冠名，像儒家学派的代表性著作，被奉为经典的，无非是四书五经而已，而数学书一下子就被命名了十部经典，其在古人心目中的重要性，由此可见一斑。
就数学家而言，他们对数学的功能有清晰的认识。汉代著名数学家刘歆有一段话，可作代表：
数者，一、十、百、千、万也，所以算数事物，顺性命之理也。……夫推历生律制器，规圜（huán）矩方，权重衡平，准绳嘉量，探赜（zé）索隐，钩深致远，莫不用焉。度长短者不失毫厘，量多少者不失圭撮，权轻重者不失黍累。
纪于一，协于十，长于百，大于千，衍于万，其法在算术。”
这里说约仅仅是算术，并未涉及几何，但这段话表现的对数学与其他学科关系的认识，却无疑是非常清晰的，也是正确的。现代著名数学家华罗庚曾经这样描述过数学的应用：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之送、日用之票，无处不有数学的重要贡献。比较华罗庚和刘歆的说法，可以看出，在对数学重要性的认识上，古今数学家的心理是相通的。中国古代数学就是在数学家这种认识的引导下、在社会对其高度尊崇化的背景下发展起来的。
中国古代数学的发展，应该起步于对数的认识和记数方法的形成。在古代中国，数字的产生究竟始于何时，现在无从考证。可以肯定的是，在传说中的“结绳记事”年代，古人已经有了数的概念，其对应的时期应该在文明产生之前。现在的问题是我们无法找到明确的考古依据，以此确定其具体年代。在目前已知的古代遗存当中，半坡遗址一些器物上的刻画符号，很可能与数字有关，但那也只是今天人们的一种猜测。现在我们可以肯定的是，在殷墟出土的商代甲骨文中，已经出现了数字的具体记录，包括从一到十以及百、千、万，最大的数字是三万。从这些数字中，可以看出古人的记数法——十进位值制。
所谓十进位值制，十进，是以十为基数，逢十进一位；位值制的要点则在于同一数字符号因其位置不同而具有不同的数值。例如同一个5，在右数第一位表示的是个位的5，在右数第三位则表示500。这种计数方法的重要性无论如何强调都不会过分，因为良好的计数方式是代数发展的前提。不难想象，那些非十进位值制的计数方法，例如罗马的计数方式，在进行加减乘除这些简单数学运算时，是何等的不便。
我国自有文字记载开始，记数法就遵循十进制了。而世界上其他一些文明发生较早的地区，如古巴比伦、古埃及和古希腊所用的计算方法，都不是十进位值制。古巴比伦人和中美洲的玛雅人虽然采用位值制，但前者是六十进位，后者是二十进位。印度则一直到公元6世纪还用特殊的记号表示二十、三十、四十等十的倍数，7世纪时才有采用十进位值制记数法的明显证据，而且很可能是受到中国影响的结果。由此，十进位值制这种记数法的发明，是古代中国人对世界文明发展的一大贡献。马克思曾将十进位值制记数法的发明称为“最妙的发明之一”，李约瑟也高度评价说：“如果没有这种十进位制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”！！
与发明十进位值制记数方法相应的是，古代中国人还发明了一种十分重要的计算方法——筹算。筹算完成于春秋战国时期，是以算筹作工具的一种数学计算方法。根据《汉书·律历志》的记载，算筹是一种长六寸(合现在13.86厘米)、直径一分(合现在0.23厘米)的小圆竹棍。古人用它们的纵横组合表示数字。到南北朝时，古人把算筹的长度作了适当的减少，同时将其由圆形改成方形或扁形。改短可以减少计算时所占面积，适应更加复杂的计算；变圆为方或扁则可以有效避免圆形算筹因滚动而造成的计算错误。
古人在用算筹表示具体数字时，有纵横两种摆法。这两种摆法与1-9这九个数字的对应关系见图3.1，在该图中最上一行是纵式，下面的是横式。
在具体表示某一个数字时，则依据纵横相间的方式，在个位、百位、万位、百万位等摆纵式，在十位、千位、十万位、千万位等摆横式。如果遇到0，则以空位表示之。
图3.2是一个具体例子，它表示的数字是1861。在明确了算筹的摆放方法之后，就可以根据一定的规则，利用算筹进行加减乘除、开平以及其他的代数计算了。
在古代社会，在阿拉伯数字产生之前，筹算是世界上最先进的计算体系。后来在筹算的基础上又发展出了珠算。珠算明代时在中国得到了普及，取代了筹算。筹算虽然退出了历史舞台，但它的痕迹直到现在仍然存在，在日常生活中的“筹划”、“统筹”等词语身上，仍然可以看到历史上筹算的影子。珠算较筹算更为快捷方便，因而使用范围也更加广泛。快捷的计算工具对人类社会的发展来说太重要了，正因为如此，国外曾有人把算盘称为中国古代的第五大发明。珠算的影响是其重要性由此可见一斑。
十进位值制的计数方法、以算筹作工具的数字计算方法，这些是先秦时期中国人在数学领域取得的重要成果。而中国古代数学体系的形成，则要等到汉朝，是以《九章算术》的出现为标志的。
《九章算术》是中国古代一部极其重要的数学著作，它大概完成于汉代，是以问题集的形式编写成书的。全书共收集了246个数学问题，并一一给出了答案。对这些问题的解答涉及到分数四则运算、比例算法、各种面积和体积的计算、勾股测量术等等。该书对负数概念及正负数加减法则的提出，在世界数学史上是最早的。
《九章算术》的确切作者已很难考。据说西汉著名数学家张苍、耿寿昌等都曾经对它进行过修订删补。1984年，考古学家在湖北江陵张家山出土的汉代竹简中，发现了一部成书于西汉初年的数学著作，将其命名为《算数书》，该书成书时间比《九章算术》早约一个半世纪以上，是现存最早的中国数学著作。其内容和《九章算术》相类似，有些文句与《九章算术》亦接近，这意味着《九章算术》与之有某种继承关系。嗣后，又出现了《周髀算经》这部著名的天文数学著作，其中包含了勾股定理等一些重要的数学原理，这些内容也被《九章算术》吸收了。可以说，《九章算术》正是在这些数学成就的基础上，经过长时期、多人整理，最终得以成书的。它集秦汉数学之大成，内容丰富，题材广泛，对后世影响深远。它的出现，最终成为中国古代数学体系得以形成的标志。
以《九章算术》为代表的中国古代数学体系，其特点是通过对应用问题的分析，抽象出一般的原理和方法，最终达到解决同类问题的目的。该体系以算筹为主要计算工具，运用十进位值制的记数系统进行运算，内容涵盖算术、代数、几何等各方面。它形成于汉朝，并在其自身发展历程中，逐步走向高峰，成为古代中华民族发展所依赖的重要数学工具。
汉朝之后，中国进入三国时期，这个历史时期古代数学发展的一件重要事情是刘徽为《九章算术》作注。《九章算术》虽然重要，但它的基本形式是提出问题，给出答案，中间的解答过程却被忽略了。刘徽的注正是针对《九章算术》的这一不足，对寓于全书的各种算法中的数学理论作详尽阐释。他的阐释精辟严谨，影响深远。经过刘徽的注释，《九章算术》才在数学史上真正站立了起来，成为可与《几何原本》相媲美的数学经典著作。在世界数学史上，《几何原本》是以演绎为特征的公理化体系的典范，《九章算术》则是以计算见长的算法体系的代表，如同《几何原本》对西方数学的影响一样，在长达一千多年的时间里，《九章算术》一直是东方数学的标准教科书，对中国、朝鲜、日本等国产生了深远的影响。而这一切，如果没有刘徽为其作注，是无从实现的。
刘徽的注不但弥补了《九章算术》缺乏中间环节的不足，对原书的方法、所涉公式和定理进行解释和推导，更有许多自己的发明。他是以注的形式来阐发自己的数学理论的。在刘徽的诸多数学贡献中，最引人注目的是他在计算圆周率方面所作的发明。这一发明是以“割圆术”理论的提出为标志的。
在刘徽的时代，一般人所采用的圆周率是“周三径一”。刘徽指出：“周三径一”不是圆周率，它是圆内接正六边形的周长和圆直径之比。用这个比值计算出的圆面积，并非真正的圆面积。当时人们已经知道圆面积计算公式是“半周半径相乘”，半径是直线，理论上可以准确测得，这样，要求得准确的圆面积，就得知道准确的圆周长，但圆周是曲线，无法直接测量，于是人们用圆内接六边形周长来代替圆周，可是这样又带来了误差。那么，如何才能化曲为直呢？刘徽提出：当圆内接多边形的边数无限增加的时候，多边形的周长就会无限逼近圆周长，这时就可以用多边形周长代替圆周长进行圆面积的计算”。刘徽提出的这种方法就是“割圆术”。
刘徽把自己的设想付诸实施，用割圆术具体推算了圆周率π值。他从圆内接正六边形算起，令其边数逐次加倍，相继算出圆内接正十二边形、二十四边形、四十八边形、九十六边形每边的长，还求出了正一百九十二边形的面积，这相当于求得π=3.141024。他在实际计算中，采用的是π=3.14。非但如此，为了验证这一结果，他还继续求得圆内接正三千零七十二边形的面积，得到了更精确的圆周率值π=3.1416。
刘徽得出的圆周率值在当时的世界上是非常先进的，但他的功绩并非仅在于此，更在于为圆周率的计算找到了科学的方法，使得圆周率研究工作有了自己坚实可靠的理论基础。后人只要沿用他的方法继续做下去，就能得到越来越精密的圆周率值。此外，他的理论中蕴含着极限概念和直曲转化思想，这也是极其可贵的。这种思想是后世微积分理论的先导。
南北朝时最有代表性的数学工作是祖冲之和祖暅父子两个做出来的。他们在刘徽等人工作的基础上，把传统数学向前推进了一大步。尤其是祖冲之对圆周率的推算，是同时期世界上其他数学家难以望其项背的。祖冲之是世界上第一个把圆周率的值计算到7位小数的人，他推算出圆周率的准确值为3.1415926<π<3.1415927，他的这一纪录，直到一千年之后，才被阿拉伯数学家所打破。此外，祖冲之在用分数表示圆周率方面，创造性地提出了约率和密率的概念，他提出的约率是π=22/7，密率是π=355/113。尽管约率的值前人已经提及，但这两个概念是祖冲之的发明，而且密率值是他发现的。经过计算可以知道，祖冲之的密率值是分子分母都在1000之内的分数形式的圆周率的最佳近似值。
祖冲之是如何得到这些结果的，史乏明载，但在当时的历史背景下，他除了运用刘徽的“割圆术”，似乎也别无选择。如果要运用“割圆术”计算出祖冲之的圆周率值，则必须求出圆内接正一万二千二百八十八边形的边长和二万四千五百七十六边形的面积，这样得到的圆周率值才能准确到小数点后7位。在用算筹作计算工具的古代，要完成这些计算，需要对九位数作130余次的加减乘除和开方运算，还要选择适当的有效数字，保证误差不能超越预定的范围，其工作量之大、难度之高，是难以想象的。我们知道，圆周率在科学实践中应用非常广泛，而在古代科学水平下，计算圆周率是一件非常复杂和困难的事情，因此，在相当长的一段历史时期，圆周率的理论和计算在某种程度上反映了一个国家的数学水平。正因为如此，祖冲之的成就引起了人们的高度重视，有不少人赞同把π=355/113称为祖率，以纪念他的杰出贡献。
如果说魏晋南北朝时期的数学发展主要集中在理论化方面的话，那么隋唐时期的数学发展的一件重要事情就是数学教育制度的建立。隋唐时期建立了正规的数学教育制度，由国家掌握的国子监中设立了专门教授数学的算学馆，教科书也由国家统一编订。唐朝显庆元年(656年)，唐高宗李治指示李淳风等人编纂了十部数学著作，总称《算经十书)，以之作为算学馆教材。这十部著作分别是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《缀术》、《张丘建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《缉古算经》。它们体现了汉唐千余年间中国数学的高度发达。
宋元时期是中国数学发展的黄金时代。这个时期出现了秦九起、李冶、杨辉、朱世杰这四位世界级的大数学家，他们的一些成果，如高次方程的解法、多元高次方程组消去法、联立一次同余式解法等早于欧洲同类成果五百到八百余年。
明代中国数学的发展表现得非常特殊。一方面，对理论数学的研究处于停顿乃至衰退状态，甚至连宋元时期已经取得的成果也逐渐被人遗忘；另一方面，实用数学的普及程度超越以前任何一个时代，民间出现了大量内容浅显、切近实用的数学书籍，书中将各种公式和法则编成歌诀，使之朗朗上口，便于记忆和推广。这种书籍的出现，很大程度上满足了当时日益兴旺的商业发展的需求。这股实用思潮对数学理论的发展并无裨益，却促成了程大位《算法统宗》的问世，促进了珠算的普及。16世纪中叶，珠算完全取代了筹算，实现了中国古代计算工具的重大变革，这是实用数学的普及所带来的一个巨大成果。
明朝末年，传教士来到中国，在向中国人传布西方宗教的同时，也带来了西方的科学，其中也包括数学。传教士利玛窦(Matthieu Ricci，1552—1610)和徐光启合作，翻译了欧几里得的《几何原本》的前六卷，由此拉开了翻译西方数学著作的帷幕。徐光启非常推崇《几何原本》，认为这是一部既可以增加人们数学知识、又能训练思维的好书，“举世无一人不当学”。在中外学者的共同努力之下，西方的笔算、三角学、对数、几何学、代数学等内容以及比例规、计算尺等数学工具都传入了中国，并引起了中国学者的兴趣，从而改变了中国古代数学的发展方向。
进入清代以后，中国学者一方面继续消化吸收传入的西方数学知识，并努力钻研，力图有所创新；另一方面，在清政府文化政策的高压下，大批学者转向研究古籍考据经典方面，在数学领域，其结果是导致了对宋元以前数学著作的整理和发掘，促成了被明朝人遗忘了的大批数学遗产重放光明。清代后期的洋务运动，促进了西方科学知识其中也包括数学知识的传入，数学领域中西合流的倾向进一步加强。1840年的鸦片战争，西方列强用武力打开了中国的国门，大批传教士来到中国，其中一些人在中国开办了教会学校，学校中设有数学课程，讲授西方数学。
在这段时间，中国学者面对西学的涌入，也以前所未有的规模和深度，学习和钻研西方科学知识。像李善兰、华蘅芳等不但学习西学卓有成效，翻译了大量西方数学书籍，并结合中文特点，确定了大批数学译名，使西方数学在中国扎下根来，而且潜心研究，做出了多项创造性成果。他们的工作，标志着中国近代数学研究的开端。
1905年9月，清政府发布“上谕”，宣布废除科举制度，兴办新式学校。这一举措，导致了中国教育制度的根本转轨，西算被指定为新式学校数学课程的教学内容，彻底取代了传统数学的地位。从此，中国数学正式步入了近代轨道。
三 计时技术的演变
在中国古代诸多创造发明中，计时技术方面的发明毫无疑问可以跻身于古代科技发明榜的前列。这既是由于时间计量是科学进步的前提、是社会有序运转的技术保障，也由于中国古代计时精度达到了令人惊叹的地步。中国古代在时间计量方面所取得的成就已经为世人所公认，而这些成就的取得是以高超的计时技术为保障的。
要进行时间计量，首先要建立适用的时间单位。
古人计时，以日为基本单位，再对日进行细分，建立小于日的人为时间单位。对此，中国古代普遍采用的是分1日为12时的计时制度，此即所谓的十二时辰制度。
十二时辰计时制度是把一个昼夜均分成12个时间段，每个时间段分别用子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥这十二地支中的一个来表示。后来，古人觉得一个昼夜分成12时，每个时段过长，于生活多有不便，于是又把每个时辰分成时初和时正两个小时辰，这就形成了24小时制。这种24时制一直沿用至今，小时这个名称在现在的社会生活中依然被使用着。
但是，即使有了小时制，如果仅以小时作为最小的时间单位，这样的社会，其社会管理、社会生活必然相当粗放。随着文明的发展，人们会要求时间单位越来越细化。
古人建立了百刻制，来满足社会对更小的时间单位的需求。百刻制是把一个昼夜分成100刻，以刻作为最小计时单位。百刻制和十二时制都是以一个昼夜为划分对象，因此，它们是两套并存的时间单位。既然百刻制和十二时制是并存关系，彼此不能取代，就有一个相互配合的问题。但100不是12的整数倍，无法把100刻均匀地分配到十二时辰或二十四小时制中。如何协调二者关系，这是让古人很头疼的一个问题。
有两种解决办法。一是改革百刻制，将其改成120刻制或96刻制。古人确曾作过这样的尝试，但由于各种因素的影响，这些尝试均不曾坚持下去。一直到明末清初，传教士进入中国，带来了欧洲的天文学知识和时间制度，人们才又提出实行96刻制的建议。到了清代，96刻制成为正式的时间制度。1个时辰等于8刻，1小时等于4刻，每刻等于15分钟。刻作为时间概念，直到现在还遗留在人们的日常语言当中。
另一种方法是把刻再细分，设法使它与十二时制配合起来。古人常用的一种方法是把1刻分成6小刻，这样每个时辰就包含8刻2小刻，每个小时包含4刻1小刻。按照这种分法，刻和小刻与现在时间单位的换算关系是：1刻=14.4分钟，1小刻=2.4分钟。用这样的方式，百刻制与十二时制终于配合起来了。
时间单位确立以后，下一步，就是如何找到合适的计时仪器，把时间的流逝反映出来。对此，古人一开始是用日晷来完成计时任务的。
既然不管是十二时制还是百刻制，都是对日这个基本时间单位的细分， 钱二而日是以太阳绕地一周的视运动为基础建立起来的，这不难启发人们想到， 要计量时间，只要观察太阳在空中的方位即可。但太阳在空中，日光耀目，很难对之直接观测，为此，古人选择了在平地上立一根竿子，观察其在日光下的影子方位的变化，由此逆推太阳在空中的方位，从而测知相应时间。这就导致了日晷计时的诞生。
早期的日计时，只是选择在平地上竖一根竿子，在竿子周围画一些用来表示时间的线条，根据竿影在线条之间的位置，来读取时间。这种形式的日晷，叫作地平式日晷。这根竿子构成了日晷的表，而刻画有时刻标志的地面就构成了日晷的面。后来，人们把晷面和表做在一起，就成了便携的专门测量时间的日晷。
地平式日晷的起源时间至迟不晚于战国，这是通过文献分析可以确定的。至于其具体形制，透过考古发掘，亦可窥见一斑。1897年，在内蒙古呼和浩特以南的托克托城出土了一块方形石板，石板的尺寸是27.5×27.4×3.5厘米，石板上面刻画了一个大圆，圆心处开有一圆孔，由圆孔向外刻有辐射线，辐射线分布在圆面2/3的范围，辐射线顶端刻有1至69的数字。其具体形制见图3.3。
由出土情况和数字的写法来看，该石板应为秦汉之际的遗物。由其构造及图案刻画来看，它是一具日晷。
托克托日晷的使用方法很简单，只要将石板平放在地面，使其没有刻辐射线的出土的日晷 一面正对南方，然后在圆心的孔洞中插入一表，观察其在日光下的表影投向即可。表影投射到哪条线上，由那条线端的数字即可直接读出相应的时刻。
类似托克托日晷的这种地平式日晷在古代并不多见，原因是它存在着较大的计时误差。我们知道，地平式日晷是以太阳在空中的周日视运动为计时依据的，而太阳在空中的周日视运动是同赤道而平行的，这样，只有使日晷面同赤道面平行，太阳对晷表的投影在晷面上的移动才是均匀的。而地平式日晷的晷面是同地平面平行的，这就使得晷表表影在晷面上的移动不均匀，日出和日没时表影移动得快，中午则移动得慢，由此就导致了计时误差的出现。要解决这一问题，最简单的办法就是让晷面平行于赤道面，让表指向天北极。这样一来，就导致了一种新式日——赤道式日晷的出现。
赤道式日晷在中国出现的时间，至迟不晚于宋代。南宋学者曾敏行在其所撰的《独醒杂志》中详细记载了赤道式日晷的结构和使用原理，为赤道式日晷的流行奠定了基础。自此以后，赤道式日晷在中国普及起来，成为日晷计时的主体。
日晷计时简便易行，但容易受到气候条件的影响，而且晚间无法使用，不能连续计时。所以，必须有其他计时仪器的补充。在中国古代，使用最广泛、地位最重要的计时仪器，并非日晷，而是漏刻。
漏刻计时的基本原理，是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间。漏刻计时的本质是守时，因为它需要依赖像日晷那样的天文计时为其提供计时起点，以便使它显示的时间与天文计时的结果一致，即漏刻计时是服从于天文计时的。
漏刻在中国起源时间很早。古人曾把漏刻起源时间追溯到黄帝的时代，《隋书·天文志》说：“昔黄帝创观漏水，制器取则，以分昼夜。”南北朝时的《漏刻经》也说：“漏刻之作，盖肇于轩辕之日，宣乎夏商之代。”如果说古人在黄帝时代通过观察漏水，受到启发，把水的流失与时间的流逝联系起来，经过长期积累，逐步发明了漏刻，漏刻在夏商时代得到了比较大的发展，也未必完全是无稽之谈。当然，夏朝的情况究竟如何，无文献依据可考，而商周时期已经有了漏刻，则是可以肯定的。
早期漏刻的形式比较简单，大概就是一只简单的壶，壶中盛水，在底部开一小孔向外泄水。水中放一浮子，浮子上安插一画有时刻标记的木箭，通过观察木箭在壶中的降落情况来判断时间。随着水的流失，箭逐渐沉入壶中，故这种漏刻称为沉箭漏。
沉箭漏在使用过程中，显示时刻的木箭是逐渐没入壶中的，这样使用者要观察时刻，不太方便。由于漏壹在使用中，应该另有一壶来收集其所排出的废水，这样， 人们不难想到，只要把木箭移到这个受水壶中，随着漏出土的西汉沉箭漏壶中水的流失，受水壶的水面不断上升，箭露出壶口的部分也逐渐增加，观察起来就直观多了。这种设想的付诸实施，就导致了另一种漏壶——浮箭漏的诞生。
不管是浮箭漏，还是沉箭漏，如果只有一个壶供水，一个壶受水，它们都属于单级漏壶。显然，单级漏壶的计时精度不会高。因为漏刻是通过水位变化来显示时间的，如果供水壶向箭壶(即受水壶)泄水的速度是均匀的，那么时间显示就也是均匀的，但供水壶的泄水速度显然受其内部水位的影响，水位高时流速大，水位低时流速小，这就使得木箭显示的时间也不均匀，导致了比较高的计时误差的出现。
既然随着时间的流逝，供水壶的水位不断下降，影响了计时的精确度，那么能否在供水壶向下泄水的同时，用另一壶向其供水，以补充其减少的水量？根据这样的思考，东汉时期，人们在漏刻的供水壶上方又加了一个供水壶，这就使得漏刻的发展由单级漏进入到了多级漏，一开始是二级漏。东汉著名科学家张衡曾经描写过当时二级漏壶的使用情况：
以铜为器，再叠差置，实以清水，下各开孔。以玉虬吐漏水入两壶，左为夜，右为昼。
张衡的这段话表明，漏壶是用铜制作的，所谓“再叠差置”，是指两个供水壶要重叠错开放置。玉虬是指用玉做成的虹吸管。由于昼夜长短不一，干脆把箭壶也设计成两个，分别在白天和夜晚使用。
单级漏升级成二级漏以后计时精度得到了大幅度的提高。华同旭博士做过仿古模拟实验，证实只要调理得法，二级漏的计时精度可保持在日误差不大于40秒的水平。在东汉时期，这样的计时精度是令人难以想象的。既然由单级漏升级成二级漏效果就这么显著，何不再继续增加漏壶的级数，以获得 更高的计时精度呢？正是在这样的思路驱使下，到了晋朝，就出现了有三个供水壶连用的三级漏。而到了唐代，吕才甚至创制了四级漏，使漏壶的级数达到了登峰造极的地步。
实际上，漏壶的级数没必要一加再加。对于多级漏壶，关键在于调理，要合理确定各级漏壶的初始水位和加水时间间隔。这个技术非常复杂，以至于当漏壶级数达到三级以后，再增加其级数所导致的技术上的麻烦程度的增加，超越了其有可能带来的正面效益。由此，当漏壶级数达到四级以后，古人没有沿着继续增加其级数以提高计时精度的思路走下去，而是另辟蹊径，找到了一种更为简捷的保持直接供水壶水位稳定的方法，其具体成果就是北宋燕肃的莲花漏。
莲花漏的计时原理与莲花毫无退水孔 退水盆 关系，它之所以得名，是由于其箭壶的壶盖上有莲花形装饰物的缘故。
图3.6是燕肃莲花漏工作原理示意图
由该图可以看出，莲花漏是二级漏壶，最上一级叫上柜，它通过渴乌也就是虹吸管向下柜供水，下柜再通过一个虹吸管向箭壶注水。蓬花漏的最大创新之处在于其向箭壶直接供水的壶(即图3.6中的下柜)上侧增加了一个溢流口。据古书记载，在下柜之侧设有“铜节水小筒、竹注筒、减水盎”“，在工作时，上柜向下柜的供水量稍大于下柜向箭壶的供水量，这样到一定时间，下柜有些水就多余了出来，多出来的水由其上侧的溢流口经“铜节水小筒”、“竹注筒”流入“减水盎”中(图3.6少画了“铜节水小筒”)。这样就构成了一套漫流系统。漫流系统的存在，使得下柜在向箭壶供水时，可以保持水位稳定，从而也就保证了计时精度。燕肃发明的漫流系统直观、简便、有效，因而在后世的漏刻技术上得到了广泛的应用，成为漏刻发展史上的标志性技术。
在中国漏刻发展史上，除了上面提到的一些漏刻之外，还有一些漏刻也十分有名，例如五世纪北魏道士李兰发明了秤漏，把对漏刻流水重量的称量转化为对时间的显示。11世纪北宋科学家沈括不但创制了熙宁晷漏，设计较之燕肃的莲花漏更为完善精致，计时精度也更高，而且他还专门撰写了《浮漏议》一文，详细记载了熙宁晷漏的设计原理和制作技术。该文被收入《宋史·天文志》中，成为中国漏刻发展史上的一篇重要文献。另一位北宋学者苏颂则主持建造了一座大型天文观测和计时的仪器，叫做水运仪象台，并为之撰写了一部著作，叫做《新仪象法要》。水运仪象台把用浑仪观测的天文计时和用漏刻测报的物理计时相结合，还增加了浑象作为演示装置，增加了用摇铃报告时辰的时初、用敲钟报告时辰的时正、用击鼓报告具体时刻的音响报时装置，增加了用木偶怀报时牌轮流出现的视觉报时装置。水运仪象台的设计之独到、规模之宏大、结构之复杂、功能之多样，堪称当时世界之最。
漏刻计时是古代计时的主体。古人对漏刻计时极为重视，不但在其构造上下大工夫，不断革新，而且在管理上也精益求精。漏刻计时是系统工程，要提高漏刻计时精度，科学管理至为重要。古人在使用漏刻计时的过程中，对各种技术细节考虑得非常周到，例如漏刻用水，规定要专井专用，以保持水质稳定。还要将漏刻置于密室，以保持其工作环境的尽可能恒温恒湿，减少温、湿度等环境因素的变化对水流量的影响。在制作漏壶时，对材料的选择、结构的推敲，均十分慎重，对管理漏刻的人员也有严格要求。正是在古人的精心设计、科学管理和严格要求之下，漏刻在中国古代获得了高度发展，其计时精度达到了令人惊叹的地步。北宋时漏刻计时日误差可以小于20秒，沈括甚至以其熙宁晷漏为计时依据，发现了太阳的周日视运动也就是地球自转的不均匀性。在11世纪，能取得这样的成就是匪夷所思的。中国古代计时精度在很长一段历史时期内，一直走在世界前列。一直到18世纪，西方学者根据伽利略发现的摆的等时性原理，把直进式擒纵机构应用到机械摆钟上，使机械钟的计时精度大为提高，达到了日误差几秒的量级，这才赶上和超越了中国传统的漏刻。
四 测向技术的辉煌
与时间计量相对应的，是空间计量。在古代社会，空间计量的重要任务之一是对方向的测定。在这方面，中国古人为世界文明作出了巨大贡献，举世闻名的四大发明之一的指南针，就是中国古人在这个领域获得的有代表性的重要成果。
方向观念的产生，本质上是由于地球的自转。地球在自转过程中，角动量守恒，这样，其自转轴就为人们提供了一个恒定不变的南北方向，与其垂直的方向，就是东西方向。空间四向的观念，即产生于此。
地球自转给人们带来的直接感觉是太阳的东升西落，人们对空间方向的测定，首先也就围绕着太阳的周日视运动展开。一开始，当然是用目视太阳所在的方位，大致判断东西南北。但这种方法比较粗疏，要准确定出东西南北四向，需要用立竿测影的方法，按照一定的程序，进行精确的测量。在中国历史上，《考工记》一书最早明确记载了如何根据太阳的视运动，用立竿测影之法测定东西南北四向：
匠人建国，水地，以悬置槷，(以悬)眡以景。为规，识日出之景与日入之景。昼参诸日中之景，夜考之极星，以正朝夕。
“国”，这里指都城；“水地”，指用取水平的方法处理地面；“槷（nìe）”即表，“以悬置槷”，指用悬垂线的方法把表树得与地面垂直。“眡（shì）”同视，“景”同影。“为规”，指以表为中心画圆。这段话所描述的操作过程是这样的：平整好土地树好表以后，以表为中心画一适当大小的圆，当日出日没时，分别记下表影与圆周的交点。这两个交点的连线，就是东西方向；与其相垂直的方向，就是南北方向。(见图3.7)此外，还要再参考正午时表影的指向以及夜晚北极星所在的方位。几种方法并用，以确定准确的东西方向。
《考工记》记述的方法简便且实用。这种方法之所以成立，是由于它是以太阳周日视运动的对称性为理论依据的。另外，它还主张将不同的测量方法所得结果相互比对，以增加测量结果的可信度，这与现代误差理论的要求也是一致的。
《考工记》的方法也有不足，主要表现在其所选择的时间是日刚出没之时，这时的太阳光线很弱，导致表影模糊，使观测者很难精确确定表影与圆周的交点。为了弥补这一缺陷，西汉的《淮南子·天文训》提出了另一种测影定向方法：
正朝夕：先树一表东方，操一表，却去前表十步，以参望日始出北廉。日直入，又树一表于东方，因西方之表以参望。日方入北廉，则定为东方。两表之中，与西方之表，则东西之正也。
上述方法可参见图3.8。具体操作程序是这样的：先在平地上立一定表B，然后再拿一表A，在早晨太阳刚出时，让A表在相距B表10步的地方对B表和太阳中心进行瞄准，当三者成一直线时，将A表固定下来。当傍晚太阳要没入地平线时，另用一表B'，在相距A表10步的地方对A表和太阳中心进行瞄准，当三者成一直线时，将B'表固定下来。这时B和B'的连线表示的就是正南北方向，其中点C和表A的连线表示的是正东西方向。
《淮南子》的方法用目视取代了对 表影的观察，可以有效地避免因表影模糊造成的误差。因为测量时间是在日刚出没之时，这时日光柔和，可以用目直视。显然，《淮南子》方法的定向精度比《考工记》的要高。
《淮南子》以降，历代都有学者探讨如何提高测影定向的精度问题。其中成果最突出的是元代的郭守敬。郭守敬利用测影定向原理，发明了专门仪器，叫做正方案。正方案的结构如图3.9所示，是一个四尺见方厚为1寸的石板，在板的中心有一个孔洞，围绕孔洞刻画了19个间距为1寸的同心圆，同心圆的外围刻画了周天度数，石板的四周刻有水渠，以便在使用时为石板取平。在测定方向时，首先在孔洞中插上表，然后观察太阳升起后表影的变化情况。随着太阳的升高，表影逐渐缩短，当表影的端点从西侧进入外圆时，在圆周相应位置做一个标记。表影继续移动，其顶端不断与圆周相交，依次记下每个交点，直到下午表影东移出外圆为止。这时把同一圆上的两个交点连接起来，其连线所指的方向就是东西方向，其垂直平分线所代表的方向就是南北方向。因为圆周很多，这样形成的连线也很多，彼此可以互相比较，以求得最佳结果。
郭守敬的做法很有道理。他选择在太阳升高到一定程度时才开始测量，这时太阳光比较强，表影浓度高，便于观察。他采用了多组观测的办法，以提高测量结果的准确度，这与现代误差理论的主张是一致的。此外，他还考虑到了不同季节太阳赤纬变化对测量结果的影响。正因为他的考虑非常全面，设计也非常合理，因此他的测影定向结果非常好。现在河南登封告成镇的观星台是郭守敬主持建造的，该台长达100多尺的石圭集中体现了郭守敬的测影定向技术。1975年，北京天文台曾派人前往告成，用现代科学方法测定了石圭的取向，证实该石圭与当地子午线方位吻合得很好。这一事实表明，郭守敬对测影定向技术的运用，达到了炉火纯青的地步。
用测影的方法定向，虽然结果精确，但也有移动不便、使用场合受到限制等不利因素。为此，古人还发明了多种别的测定方向的技术。其中最重要的，当属指南针技术。这是中国古代最重要的技术发明之一。
在举世闻名的中国古代四大发明中，指南针的发明最不可思议。指南针的指南，是由于磁石的两极N极和S极与地磁场的N极和S极相互作用的结果。因为地磁场的N极和S极正好与地球的南极和北极相重合，于是指南针的磁极与地磁场的磁极相互作用的结果，就表现为其在地理上的指南。问题在于，在古代社会，古人发现天然磁石的吸铁性质并不困难，在把玩磁石的过程中发现磁石的两极亦不困难，但要把磁石的两极与地理上的南北方向联系起来，则谈何容易！因为古人不但对地磁场没有丝毫的了解，甚至对大地形状的认识，也仍然停留在地平观念的阶段。在此基础上，要让他们发现磁石的指极性，并进而研制出指南针来，似乎是天方夜谭。
但中国古人毕竟迈过了这一阶段，发现了磁石的指极性，并在此基础上，发明了磁性指向装置。他们把这种磁性指向装置叫作“司南”，司南经过一系列演变，最终成了我们现在所说的指南针。
中国人何时发现了磁石的指极性，现在尚不清楚。我们知道的是，在战国时期的一些著作中，已经出现了“司南”这一名称，并且这些“司南”确实是用来判断方向的，但它们的结构、形状、使用方法等却未被记载下来，因此我们还难以断定它们是否就是磁性指向装置。
东汉王充的《论衡·是应篇》也提到了“司南”，并对其使用方法有所涉及：
司南之杓，投之于地，其柢指南。
“杓“是一种勺子，“柢”是其柄，“地”在此指地盘，是一种光滑的四周有刻度的金属盘。把司南这种勺子投放到光滑的金属盘上，它的柄就会指南(见图3.10)。具有这种性能的司南，一定是磁性指向装置无疑。由此，我们可以断定，在东汉时期，中国人已经发现了天然磁石的指极性，并据此制作了某种匀形磁性指向装置。对这种装置，我们不妨称其为指南勺。
指南勺虽然出现于东汉，但在此后的中国历史上并未得到普遍使用。之所以如此，原因有多种。首先在于制作的繁难。天然磁石磁性弱，怕震动，磨制磁勺的过程中易失磁，制作不易。再者，圆弧状的勺柄，使指向精度受到了限制。另外，磁勺厚重，与地盘的摩擦力比较大，造成其指向效果不够理想。显然，用天然磁石作原料，无法制成精巧细致的针状指向装置。要改变这种情况，必须找到新的蓝性材料，设计出新的样式和使用方法。
寻找新的磁性材料的工作，耗费了中国人几百年的时间，到了北宋，终于获得了突破性进展。宋仁宗时，宰相曾公亮主持编撰了《武经总要》一书，其中提到了“指南鱼”的制作方法，颇有价值：
指南鱼……以薄铁叶剪裁，长二寸，阔五分，首尾锐如鱼形。置炭火中烧之，候通赤，以铁钤钤鱼首出火，以尾正对子位，蘸水盆中，没尾数分则止。以密器收之。用时置水碗于无风之处，平放鱼在水面令浮，其首常南向午也。
这里说的“指南鱼”，是以铁为原料，用人工磁化的方法，使之获得磁性，具有指南的功效。《武经总要》介绍的方法，富含科学道理。现代科学告诉我们，一般情况下，铁虽然含有大量磁畴，但这些磁畴的分布是杂乱无章的，因而铁整体对外不显磁性。在加热的时候，如果把铁片烧得通红，当其温度达到769℃这一居里温度时，铁片中的磁畴就会瓦解，整个铁片变成顺磁体。这时蘸水冷却，磁畴就会重新生成。因为冷却过程中铁鱼是沿子午线也就是地磁场方向放置的，这时重新生成的磁畴在地磁场的作用下，就会沿地磁场的取向排列。磁畴的规则排列，使得铁鱼整体对外显示出磁性。即是说，铁鱼被磁化了，冷却时对着北方的鱼尾被磁化成了指北极，鱼首则被磁化成了指南极。这时如果让铁鱼漂浮在水面上，鱼首自然就指向了南方。
此外，在蘸水冷却时，“没尾数分则止”的做法亦颇有道理。因为在中高纬度地区，地磁场有相当大的倾角，如果把鱼水平放置，这时起磁化作用的仅仅是地磁场的水平分量，磁化效果就会比较弱。而如果使鱼尾向下倾斜，就会使得铁鱼的轴线与地磁场更加接近，从而增强了磁化效果。
在(武经总要)的这段描述中，淬火是一个不容忽视的环节。淬火相变使得磁化后的铁鱼具有较强的矫顽力，这有助于保持磁力。同时，铁鱼的长条形状，也有助于减少退磁因数，保持铁鱼的磁性。
《武经总要》的介绍，本质上是利用地磁场而采取的人工磁化方法。这使我们感到甚为惊异。因为当时的人们根本没有地磁场的概念，不知道地磁倾角的存在，甚至连地球观念也不够清晰。这种情况下，他们居然发明了非常科学的指南鱼的制作方法，真是咄咄怪事。透过这件事情，我们不能不对古人深刻的洞察力表示由衷的叹服。
指南鱼的制作方法虽然科学，但它并没有得到普及，原因是中国人不久就找到了更为简捷有效的人工磁化方法。北宋沈括的《梦溪笔谈》卷二十四详细记载了这种方法以及由此制作的指南针的架设方法：
方家以磁石磨针锋，则能指南，然常微偏东，不全南也。水浮多荡摇。指爪及碗唇上皆可为之，运转尤速，但坚滑易坠，不若缕悬为最善。其法取新纩中独茧缕，以芥子许蜡，缀于针腰，无风处悬之，则针常有南。
“以磁石磨针锋”，在古代，这是最简便的人工磁化方法，而且效果好，因为是用铁针在天然磁石上摩擦而使其磁化的，磁化后的铁针直接就成了指南针。针形的指南装置，其退磁因子小，指向精度高，因而得到了普遍的应用。
沈括这段话不仅记载了指南针的制作方法，记载了磁偏角的存在，还探讨了指南针的架设方法。他介绍了指南针的四种架设方法，分别是水浮法、指甲法、碗口法和丝悬法(见图3.11)。在这四种方法中，他认为“水浮多荡摇”，不可取；指甲法、碗口法“坚滑易坠”，亦不可取。他最赞成的是丝悬法，并且仔细思考了该法的技术细节。这些讨论，表现了他对解决指南针架设问题的重视。
沈括最为推崇的丝悬法，并未被后人普遍采用，被他批为荡摇不定的水浮法，倒是在后世得到了发扬光大。后世的指南针设计者把漂浮指南针的水室体积缩小，并加以密封，不但有效地限制了指南针在其中的晃荡，而且还减缓了外界颠簸震动对磁针平衡的影响，这就导致了明清时期广泛使用的水罗盘的诞生。图3.12即为明代的一种水罗盘，盘中央为凹陷下去的水密室，指南针横贯灯芯草之类的浮体，漂浮于其中。密室外刻画着古代的方位制度。盘体系用青铜铸成。在中国，这种形式的水罗盘一直沿用到19世纪晚期。
继沈括探讨指南针的架设方法之后，南宋陈元靓的《事林广记》记载了一种木刻指南龟，为人们探讨指南针的架设提供了另一种思路。据该书的记载，指南龟是用木头刻成乌龟的形状，乌龟的腹部顺其首尾方向开有一槽，槽内按选定的极性装入磁石，在龟的尾部插入一根针，以之指方向。龟腹的下部挖有一个小凹槽，用一个竹钉顶着小凹槽，竹钉固定在一个木制的底板上(见图3.13)。竹钉坚硬，凹槽光滑，二者之间的摩擦力很小，拨动木龟，让其自由旋转，等其静止后，龟首自然指南，龟尾指北。
指南龟最大的参考价值在于它的支撑方式。这种支撑方式的进一步发展，就导致了旱罗盘的诞生。由于水罗盘在中国大行其道，旱罗盘是在指南针传到国外后，在国外发展起来的，后来又传回中国，时间大概在明中叶以后，即16世纪早期或中期。旱罗盘的一个很大优点是旋转灵活，使用方便。有一种旱罗盘是把纸质盘面贴到磁针上，这样盘随针动，判别方向更加方便。再到后来，为了防止盘体随海船大幅度摇摆时造成的磁针过分倾斜而无法转动的现象的发生，万向支架也被用到指南针上去了，这使得即使在颠簸不定的大海上，指南针仍然可以正常使用。
水罗盘和旱罗盘各有优点，到20世纪初，人们结合二者的优点，设计制作了新型的液体罗盘。新型的液体罗盘将传统的水罗盘和旱罗盘的优点结合在一起，是中国和世界、东方和西方之间科学技术交流的产物。
指南针起源于中国，大概12世纪末13世纪初传入阿拉伯，经阿拉伯人之手传到欧洲，在欧洲的航海大发现中发挥了重要作用。就这个意义上说，指南针的发明改变了人类社会的历史进程。
