解题利器之归纳法，说爱你不容易
老张教育新思享2021-06-14 07:17
邻居老王对我说，某个上市公司的老板格局很小，经常通过视频演说《道德经》心得体会，他看不懂，从而推断信奉《道德经》的老板都是口是心非的伪君子，没一个好的。这个推断我也是醉了。这个事情仅仅是个个案，但在这个个案中反应出的问题值得我们思考。
无独有偶，我国古医书《内经·口针刺篇》记载：有一个患头疼的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破了脚趾，出了点血，但头不疼了。当时他没注意，后来头疼复发，偶然又碰破那个脚趾原处，头疼又好了。这次引起了他的注意，以后头疼时，他就有意刺破脚趾这个地方，头疼就减轻或不疼了。其实，这位樵夫就运用了归纳推理，只是他自己不知道罢了。
异曲同工之妙，华中师范大学彭翕成教授讲过一则小故事，竟然涉及数学思想方法，很有意思。
故事如下：主人派仆人买枣子来吃，吩咐说：“个个都要甜，不甜不要。”仆人来到水果摊，摊主说： “我这的枣子味道都很好，没一个不好。你只要尝一个，就知道了。”仆人说：“我要把每个都尝一尝，然后再买，如果只尝一个又怎能知道其它的好坏呢？”接着仆人将枣子一一品尝，然后买回家。主人见了一个个被咬过的枣子，恶心得吃不下，全都扔了。
很多人都笑话这个仆人，哪有这么笨的？我倒觉得，并不能全怪仆人。两个枣子，外观上看起来差不多，尝了一个是甜的，并不能由此肯定另一个绝对是甜的。外观差不多，说明两个枣子之间具有一定的相关性，但相关性≠因果性，不能由此及彼地下结论。如果用数学归纳法的思想来看，就是从n成立推不出n+1成立。有人会反对，此处不应该用数学归纳法，而应该用抽样思想，摊主的建议是对的。只尝一个是甜的，然后推断其他所有的都是甜的。
在《见微知著》这本书中我们可以看到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法。
类似地，大数学家拉普拉斯（Laplace）就把归纳和类比称为“发现真理的重要工具”。
事实上，初中数学学习离开归纳是寸步难行的，一些公式、法则、性质、规律 ，往往都是通过特殊例子归纳得出的。回忆我们学习有理数及其运算法则、合并同类项和去括号法则、幂的概念的推广和幂的运算、几何公理、许多几何命题的发生等等知识，哪一次不是从归纳开始的呢？
例如，在学习有理数乘法法则时，有的同学对教材上关于“两个负数相乘，积的符号为正”的实际例子很难理解，我们用归纳法去探究就比较容易理解。这里我们先从已经理解了的负数与正数的积是负数出发：（-5）×4=一20，（-5）×3=-15，（-5）×2=-10，（-5）×1=-5，（-5）×0=0，…，于是我们可以归纳出结论：（-5）乘以一个数，这个数每减小1，积便增大5，照此规律，把与（-5）相乘的另一个因数继续减小1，上述算式依次为（-5）×（-1）=+5，（-5）×（-2）=+10，（-5）×（-3）=+15，…，再次可以归纳出结论：两个负数相乘，积的符号为正，积的绝对值等于两个因数绝对值的积。
知微见著，由此可见，归纳必须依据对一系列事实的观察，被观察的都是特殊事实，归纳得到的是一般结论。
因此，我们面对一个比较复杂的问题，可以从观察这个问题的若干特殊情境入手进行归纳，形成猜想，然后设法证明这个猜想成立。
【方法综述】
当一个问题涉及相当多甚至无穷多情形时，我们可以对问题的简单情形或特殊情况进行观察，寻求一般规律或做出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法就是归纳法。
初中数学主要是对命题的条件观察得出对结论的类比与猜想，或对条件和结论的观察提出解决问题的方案与方法的类比猜想。它是分析同类事物中所蕴含的同类性或相似性而得出的一般性结论的思维过程。
详细地说，如果我们所研究的对象只有有限种情形，或能分成有限类，通过一一验证，归纳出共同性质，这种归纳叫做完全归纳，获得的命题当然是真命题。如果所研究的对象包含无限多种情形，枚举法常常无能为力，那么，观察若干特殊情形而归纳的命题，未必为真，这种归纳叫做不完全归纳，得到的命题称为猜想。
无论是完全归纳还是不完全归纳，都是数学发现的重要方法，许多数学理论都起源于归纳，然后才进行严格论证。
著名的哥德巴赫猜想就是用不完全归纳法得到的，至今还没有人能证明它的正确性。但是，不完全归纳法得到的结论有些可以用数学归纳法证明，我们将在高中时学习。
【应用策略】
归纳法在数学解题中主要体现如下的三个方面：
① 观察归纳法----通过观察，直接归纳，从而得到问题的答案；
② 列举归纳法----通过列举简单的、特殊的、符合题目要求的实例，来归纳一般性的规律；
③ 递推归纳法----通过归纳、猜想得到递推的规律，“顺藤摸瓜”得到结果。
近年来，归纳猜想型探究问题问题已成为各类考试的热点及难点，主要有“数、式、图形”等类型，对同学们的观察、归纳、分析及推理能力要求较高，经常以选择、填空、压轴题的形式出现。
我们常用的解题模式是“特殊---一般---特殊”，这也是人类认识新生事物的一般规律。值得关注的是，归纳猜想有利于培养创造性思维能力，是学习初中数学知识所必备的数学核心素养之一。
【应用场景】
类型1 与数字相关的归纳探索问题
例1.中国古代的十进位制的算筹记数法在世界史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年 至9这9个数字的纵式和横式的表示数码如下图所示，算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式……，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了.
例2.汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上； 每次只能移动1个碟片． 较大的碟片不能放在较小的碟片上面．
如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将 ▏号杆子上的n
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作者：老张教育新思享
专栏简介：品数学之术，点燃数学灵魂。本专题共四十讲，第一部分，数学思想，共5个专题；第二部分，数学方法，共35个专题，每个专题分趣味...展开
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