作者 | 小灰

责编 | 王晓曼

来源 | 程序员小灰（ID：chengxuyuanxiaohui）

如何进行二分查找呢？

首先根据数组下标，定位到数组的中间元素：

由于要查找的元素20，大于中间元素12，再次定位到数组右半部分的中间元素：

这一次定位到的元素正好是20，查找成功。

如果数组的长度是n，二分查找的时间复杂度是O（logn），比起从左到右逐个遍历元素进行查找的方式，大大提升了查找性能。

如上图所示，想要定位到链表的中间结点9，是无法直接定位的，需要从头结点开始，顺着next指针，逐个访问下一个结点。

因此，链表这种数据结构并不适用于二分查找。

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常见的图书目录，就像下面这样：

第5章对应的页码是170，因此我们直接翻到书的第170页，就是第5章的内容。

如图所示，在原始链表的基础上，我们增加了一个索引链表。原始链表的每两个结点，有一个结点也在索引链表当中。

这样做有什么好处呢？当我们想要定位到结点20，我们不需要在原始链表中一个一个结点访问，而是首先访问索引链表：

在索引链表找到结点20之后，我们顺着索引链表的结点向下，找到原始链表的结点20：

这个过程，就像是先查阅了图书的目录，再翻到章节所对应的页码。

由于索引链表的结点个数是原始链表的一半，查找结点所需的访问次数也相应减少了一半。

多层次的图书目录，就像下面这样：

如图所示，我们基于原始链表的第1层索引，抽出了第2层更为稀疏的索引，结点数量是第1层索引的一半。

这样的多层索引可以进一步提升查询效率，假如仍然要查找结点20，让我们来演示一下过程：

首先，我们从最上层的索引开始查找，找到该层中仅小于结点20的前置索引结点12：

接下来，我们顺着结点12访问下一层索引，在该层中找到结点20：

最后，我们顺着第1层索引的结点20向下，找到原始链表的结点20：

在这个例子中，由于原始链表的结点数量较少，仅仅需要2层索引。如果链表的结点数量非常多，我们就可以抽出更多的索引层级，每一层索引的结点数量都是低层索引的一半。

假设原始链表有n个结点，那么索引的层级就是log(n)-1，在每一层的访问次数是常量，因此查找结点的平均时间复杂度是O（logn）。这比起常规的查找方式，也就是线性依次访问链表节点的方式，效率要高得多。

但相应的，这种基于链表的优化增加了额外的空间开销。假设原始链表有n个结点，那么各层索引的结点总数是n/2+n/4+n/8+n/16+......2，约等于n。

也就是说，优化之后的数据结构所占空间，是原来的2倍。这是典型的以空间换时间的做法。

假设我们要插入的结点是10，首先我们按照跳表查找结点的方法，找到待插入结点的前置结点（仅小于待插入结点）：

接下来，按照一般链表的插入方式，把结点10插入到结点9的下一个位置：

这样是不是插入工作就完成了呢？并不是。随着原始链表的新结点越来越多，索引会渐渐变得不够用了，因此索引结点也需要相应作出调整。

如何调整索引呢？我们让新插入的结点随机“晋升”，也就是成为索引结点。新结点晋升成功的几率是50%。

假设第一次随机的结果是晋升成功，那么我们把结点10作为索引结点，插入到第1层索引的对应位置，并且向下指向原始链表的结点10：

新结点在成功晋升之后，仍然有机会继续向上一层索引晋升。我们再进行一次随机，假设随机的结果是晋升失败，那么插入操作就告一段落了。

小灰说的是什么意思呢？让我们看看下图，新结点10已经晋升到第2层索引，下一次随机的结果仍然是晋升成功，这时候该怎么办呢？

假设我们要从跳表中删除结点10，首先我们按照跳表查找结点的方法，找到待删除的结点：

接下来，按照一般链表的删除方式，把结点10从原始链表当中删除：

这样是不是删除工作就完成了呢？并不是。我们需要顺藤摸瓜，把索引当中的对应结点也一一删除：

刚才的例子当中，第3层索引的结点已经没有了，因此我们把整个第3层删去：

最终的删除结果如下：

1. 程序中跳表采用的是双向链表，无论前后结点还是上下结点，都各有两个指针相互指向彼此。

2. 程序中跳表的每一层首位各有一个空结点，左侧的空节点是负无穷大，右侧的空节点是正无穷大。

之所以这样设计，是为了方便代码实现。代码中的跳表就像下图这样：

publicclassSkipList{//结点“晋升”的概率privatestatic final double PROMOTE_RATE = 0.5;private Node head,tail;privateint maxLevel;publicSkipList(){ head = new Node(Integer.MIN_VALUE); tail = new Node(Integer.MAX_VALUE); head.right = tail; tail.left = head; }//查找结点public Node search(int data){ Node p= findNode(data);if(p.data == data){ System.out.println("找到结点：" + data);return p; } System.out.println("未找到结点：" + data);return null; }//找到值对应的前置结点private Node findNode(int data){ Node node = head;while(true){while (node.right.data!=Integer.MAX_VALUE && node.right.data<=data) { node = node.right; }if (node.down == null) {break; } node = node.down; }return node; }//插入结点publicvoidinsert(int data){ Node preNode= findNode(data);//如果data相同，直接返回if (preNode.data == data) {return; } Node node=new Node(data); appendNode(preNode, node);int currentLevel=0;//随机决定结点是否“晋升” Random random = new Random();while (random.nextDouble() < PROMOTE_RATE) {//如果当前层已经是最高层，需要增加一层if (currentLevel == maxLevel) { addLevel(); }//找到上一层的前置节点while (preNode.up==null) { preNode=preNode.left; } preNode=preNode.up;//把“晋升”的新结点插入到上一层 Node upperNode = new Node(data); appendNode(preNode, upperNode); upperNode.down = node; node.up = upperNode; node = upperNode; currentLevel++; } }//在前置结点后面添加新结点privatevoidappendNode(Node preNode, Node newNode){ newNode.left=preNode; newNode.right=preNode.right; preNode.right.left=newNode; preNode.right=newNode; }//增加一层privatevoidaddLevel(){ maxLevel++; Node p1=new Node(Integer.MIN_VALUE); Node p2=new Node(Integer.MAX_VALUE); p1.right=p2; p2.left=p1; p1.down=head; head.up=p1; p2.down=tail; tail.up=p2; head=p1; tail=p2; }//删除结点public boolean remove(int data){ Node removedNode = search(data);if(removedNode == null){returnfalse; }int currentLevel=0;while (removedNode != null){ removedNode.right.left = removedNode.left; removedNode.left.right = removedNode.right;//如果不是最底层，且只有无穷小和无穷大结点，删除该层if(currentLevel != 0 && removedNode.left.data == Integer.MIN_VALUE && removedNode.right.data == Integer.MAX_VALUE){ removeLevel(removedNode.left); }else { currentLevel ++; } removedNode = removedNode.up; }returntrue; }//删除一层privatevoidremoveLevel(Node leftNode){ Node rightNode = leftNode.right;//如果删除层是最高层if(leftNode.up == null){ leftNode.down.up = null; rightNode.down.up = null; }else { leftNode.up.down = leftNode.down; leftNode.down.up = leftNode.up; rightNode.up.down = rightNode.down; rightNode.down.up = rightNode.up; } maxLevel --; }//输出底层链表publicvoidprintList(){ Node node=head;while (node.down != null) { node = node.down; }while (node.right.data != Integer.MAX_VALUE) { System.out.print(node.right.data + " "); node = node.right; } System.out.println(); }//链表结点类publicclassNode {publicint data;//跳表结点的前后和上下都有指针public Node up, down, left, right;publicNode(int data){this.data = data; } }publicstaticvoidmain(String[] args){ SkipList list=new SkipList();list.insert(50);list.insert(15);list.insert(13);list.insert(20);list.insert(100);list.insert(75);list.insert(99);list.insert(76);list.insert(83);list.insert(65);list.printList();list.search(50);list.remove(50);list.search(50); }}