微分方程：极富生命力，包罗万象的数学分支
究尽数学2020-06-15 01:47
随着分析学对函数引入微分运算，表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程进入数学家的视野，这就是微分方程。微分方程的形成与发展与力学、天文学、物理学等科学技术的发展密切相关。因为在现实的世界中，物质的运动及其变化规律在数学上是用函数关系来描述的，这意味着问题的解决就是要去寻求满足某些条件的函数，而这类问题就转换为微分方程的求解问题。微分方程为科学发现提供了有力工具，如：
牛顿通过使用微分方程研究天体力学和机械力学，从理论上得到行星运动规律；英国天文学家亚当斯和法国天文学家勒维烈使用微分方程，找到了海王星。解微分问题的基本思想类似于解代数方程，要把问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，进而得到包含未知函数的一个或几个方程，然后使用分析的方法去求得未知函数的表达式。
微分方程的发展历程：
苏格兰数学家耐普尔创立对数时，就对微分方程的近似解进行了讨论；牛顿用级数求解简单的微分方程；瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人不断地研究和丰富了微分方程的理论；复变函数、李群、组合拓扑学等数学分支的新发展，深刻影响了微分方程的发展；计算机成为微分方程的应用及理论研究的有力工具。
常微分方程
如果微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，那么该类微分方程就是常微分方程。常微分方程的通解构成一个函数族，主要研究方程或方程组的分类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等内容。
常微分方程的发展经历了几个阶段：
将求通解作为微分方程的主要目标，因为只要求出通解的表达式，那么解的性质等问题都将迎刃而解；实际的研究发现，在实际中大部分情况是不能够求出通解的，于是研究重点转移到定解问题上来。微分方程基本问题的解决：解的存在和唯一性定理；由于大部分的常微分方程求不出解析解，而只能求近似解。现在，常微分方程在自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等学科领域内有着重要的应用。
偏微分方程
如果一个微分方程中出现多元未知函数的偏导数，那么这就是偏微分方程。偏微分方程作为一门学科产生于18世纪对振动弦问题的研究。在科学技术飞速发展过程中，更多的问题无法用只含一个自变量的函数来描述，多个变量的函数来描述才更合适。
欧拉最早提出了弦振动的二阶方程；法国数学家达朗贝尔也在《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。1746年，在论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中提议证明：无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式；瑞士数学家丹尼尔·贝努利通过研究数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法；拉格朗日对一阶偏微分方程进行了讨论。到19世纪，偏微分方程得到迅速发展，数学物理问题的研究也随之繁荣起来，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。尤其是法国数学家傅立叶，他在自己关于热传导的论文《热的解析理论》中提出了一种偏微分方程，三维空间的热方程。
偏微分方程是什么样的？它包括哪些内容？偏方程有多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。
作为同一类现象的共同规律表示式，偏微分方程的解一般有无穷多个，而具体物理问题的解决，必须依据附加条件从中选取所需要的解。就物理现象来说，各具体问题的特殊性就在于研究对象所处的初始条件和边界条件。
初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身表达的是同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，反映了问题的具体情况；那么方程和定解条件合而为一，就叫定解问题。
求偏微分方程的定解问题可以先求其通解，然后用定解条件找出函数。但一般在实际中来说，通解是不容易求出的，用定解条件确定函数则是更难。偏微分方程的定解常用解法：
分离系数法，也叫傅立叶级数，可用于求解有界空间中的定解问题；分离变数法，也叫傅立叶变换或傅立叶积分，可用于求解无界空间的定解问题；拉普拉斯变换法用于求解一维空间的数学物理方程的定解：通过拉普拉斯变换，把方程转化为常微分方程，解出常微分方程后再进行反演。偏微分方程的很多定解问题是不能严格解出的，退而求其次，采用近似方法求出满足实际需要的近似解。常用的方法有变分法和有限差分法：变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算。
随着物理科学所研究的广度和深度的扩展，偏微分方程的应用范围也更广泛。而从数学的角度看，偏微分方程的求解促使函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面的发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。
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