最具启发性的证明：用微积分基本定理推导出泰勒公式
电子通信和数学2020-05-30 10:22
一个函数的泰勒级数在各种应用中都非常有用，同时，它也是纯数学的基础，特别是在(复)函数理论中，如果f(x)在x=a处是无穷可微的，那么f(x)在x=a处的泰勒级数是由定义得到的
这个表达式(及其巨大的效用)来自于它是x=a点附近的最佳多项式逼近.
泰勒级数确实收敛于函数本身，这是一个重要的事实。大多数微积分教科书都会用到泰勒定理(带有拉格朗日余项)，并且可能会提到它是均值定理的推广。泰勒定理的全部一般性证明可能很短，但不是很有启发性。幸运的是，一个仅基于微积分基本定理的非常自然的推导对于大多数函数来说是必需的。
我们从微积分基本定理(FTC)开始，它应该是最自然的形式：
这个表达式自然要求f是可微的（（即f′存在）），f′在a和x之间是连续的，我们可以说f是连续可微的
你可以允许f有一些跳跃间断，但我们很快就会看到更多的可微性，而不是更少。为了明确起见，假设x大于a，x1是从a到x的变量
此外，如果f′是连续可微的（或f∈C2），我们可以将FTC应用到[a，x1]上的f′上
在f（x）的表达式中，我们有
再玩这个游戏，如果f′′是连续可微的（（即f∈C3），我们可以写
所以现在
可明确概括如下：
从某种意义上说，我们已经把尽可能多的关于f（x）值的信息推到了a点，剩下的只是一个“看起来很复杂”的东西。
验证f（x）=sinx，a=0，n=3
余项问题：
上面给出的余项Rn+1（x）是在多变量微积分中会遇到的迭代积分或重积分，这可能是泰勒定理很少以这种方式教授的原因之一。
对于n=1，余数
是“二重积分”，其中被积函数通常依赖于变量x1和x2。在我们的例子中，被积函数只依赖于x2，所以如果我们可以先在x1变量上进行积分，就更容易了。我们确实可以这样做（借助于Fubini定理）：
注意，为了保持两个变量的相对位置，改变了积分限，即a≤x2≤x1≤xa，事实上，这个积分应该被看作是在x1x2x平面上的一个直角三角形上，它计算出曲面
F(x1,x2)= F " (x2)下的体积，这直观地表明，交换积分的顺序不应该影响最终的结果。
对于Rn+1(x)的一般情况，积分区域是由a≤xn+1≤xn≤≤x1≤xa定义的(n+1)维，对x1，…，xn，进行积分
这就是余项的积分形式。
通过中值定理，这个积分可以被“中值”所代替，在某个点上得到的“中值”乘以长度x-d，从而得到柯西形式的余项形式：
最后，为了得到Lagrange的形式，我们只需要看看原始的（n+1）重积分，并应用“中值定理的多变量版本：有界连通区域上的重积分等于它的“中值”，在域中的某个点通过被积函数的连续性得到，乘以积分区域的“体积”。（我们可以通过简单地应用极值定理和中值定理来证明这一点。）
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