最速降线问题（巧解）
经典力学0072020-04-20 21:30
在只考虑重力的作用的情况下，不计摩擦力，一质点在竖直面从A点沿某条曲线到B点，问怎样的曲线能使所走的时间最短？
这一个问题被称为最速降线问题（Brachistochrone），由约翰·伯努利在1696年提出来挑战欧洲的数学家，牛顿用一个晚上就做出来了，但是没公开发表（太简单了，不觉得有发表的必要）。
解决这个问题，最普遍的方法是变分法，此方法可以参考百度百科的词条。
这里我们用一个巧妙的方法来求解这一问题，这方法也是约翰·伯努利本人的做法。
1、费马原理（最小作用量原理）
首先利用费马原理：一束光从A点传播到B点总是沿着尽可能快的路径（唯一一条）。
从费马原理可导出斯涅耳定理（Snell’s Law），也叫做折射定律。其中入射光和折射光位于同一个平面上，并且入射角、折射角、传播速度满足如下关系——
因此原问题可以想象为一束光在不同折射率的介质中传播，即以不同的速度连续地沿着滑道向下走：
当层数不断增加，我们就得到了想要的路径。
由能量守恒定律，重力势能转化为动能，因此：
又根据斯涅尔定理可得：
这就是我们要求的曲线方程。
2、摆线
这一曲线方程实际上就是摆线，即滚动的轮子边缘上的一点所描述的形状。
圆上定点P，圆与水平线的切点为C，圆滚动时，点C充当点P的瞬时旋转中心：
所以CP垂直于摆线过点P的切线，又因直角圆周角对应直径，所以该切线一定过圆的最低点，交点与C的连线即为圆的直径：
点击设直线与切线的夹角为θ，根据相似三角形，我们可以计算出点P到水平线的距离：
即
由此证明最速降线实际就是摆线。
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