微分思想解决曲线长度
别迹无涯2019-06-25 13:43
对于一条连续的、光滑的曲线，根据定积分的几何意义，很容易计算曲线与x轴所围成的区域的面积，但如何计算曲线的长度呢？
1.直角坐标曲线
曲线f(x)为一条在区间[a,b]上连续且光滑的曲线，如图1所示。
图1.曲线f(x)示意图在求曲线的长度前，小编先解释一个概念。所谓光滑的函数曲线，意思就是函数在一段区间内存在一阶导数。
根据微分的思想，一段曲线的长度可以分割成无数条短曲线的和。
现在假设用n-1个数将区间[a,b]分割成n个子区间。根据图1可知，每个子区间的弧长可以近似用图2的式子来表示。
图2.子区间的弧长则曲线的总弧长近似等于各个子区间的弧长之和，如图3所示。
图3.曲线总弧长与子区间弧长的关系当n趋于无穷时，曲线弧长可以用极限的形式表示，且根据定积分的定义，可以得出曲线弧长与定积分的关系，如图4所示。
2.参数曲线
如果用参数形式来描述函数曲线，则曲线长度的计算公式如图5所示。
图5.二维空间的参数曲线长度3.二维以上的空间曲线
对于二维以上的空间曲线的长度，通常采用参数曲线的计算公式进行计算。以三维空间为例，三维空间的曲线长度的计算公式如图6所示。
图6.三维空间曲线的曲线长度微分的思想极其重要，基本上整个积分这块都是围绕微分思想而展开的。而微分思想最重要的一点就是将一段区间分割成无数个子区间进行考虑。
大家一定要尝试自己推导一遍，加深对微分的理解！
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