初一《三角形》题型全解5：运用“SAS”证三角形全等
琪琪谈人生2019-04-29 10:56
欢迎来到百家号“米粉老师说数学”，今天继续介绍三角形全等证明条件之二：运用SAS证明两个三角形全等。
【知识梳理】
①两边和它们的夹角分别对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”
②特别注意：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，即“ASS”不能证明两个三角形全等；
③几何符号语言：
【范例精讲】
例1.如图，AB=DB，BC=BE，∠1=∠2，求证：△ABE≌△DBC
【解析】:利用数学典型模型“共角模型”可由∠1=∠2得等角∠ABE=∠DBC，可用“SAS”证三角形全等；
【解题过程】:∵∠1=∠2，∴∠1+∠DBE=∠2+∠DBE，∴∠ABE=∠DBC，在△ABE和△DBC中，∵AB=DB，∠ABE=∠DBC，BC=BE，∴△ABE≌△DBC（SAS）
例2.如图，已知AB//DE，AB=DE，BE=CF，求证：AC//DF.
【解析】:欲证AC//DF，需证∠F=∠ACB，则需证所其在三角形△ABC≌△DEF，由AB//DE，可得∠B=∠DEF，已知条件中有一边相等：AB=DE，故只需再证明BC=EF，可用等式性质由BE=CF得证，再利用“SAS”即可证明。
【解题过程】:∵AB//DE，∴∠B=∠DEF，∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，∵AB=DE，∠B=∠DEF，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠F=∠ACB，∴AB//DE.
例3.如图，AB=CB，∠ABC=90，D为AB延长线上一点，点E在边BC上，且BE=BD，连接AE，DE，DC.
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE=30，求∠BDC的度数；
【解析】:（1）可用“SAS”证三角形全等；（2）利用全等性质及外角定理即可求解；
【解题过程】:（1）在△ABE与△CBD中，∵AB=BC，∠ABE=∠DBC=90，BE=BD，∴△ABE≌△CBD（SAS）.
（2）∵AB=CB，∠ABC=90，∴∠ACB=45，∵∠CAE=30，∴∠AEB=∠CAE+∠ACE=75,∵△ABE≌△CBD（SAS），∴∠AEB=∠BDC=75
例4.如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，连接BE、AD交于点O，求证：
（1）AD=BE；
（2）∠AOB=60；
【解析】数学典型模型：“手拉手模型”.（1）欲求AD=BE，首先找所在的三角形全等，即需证△ADC≌△BEC，利用“SAS”即可证明；（2）求证∠AOB=60，一定与第（1）小题的全等有关，从全等性质：角相等，入手思考问题，利用对顶角相等、数学典型模型“8字模型”，可把∠AOB的图形位置逐渐往下“拉”，使它与等边三角形的∠ECD建立起关系即可证明。
【解题过程】（1）∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AB=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60，∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠ACD=∠BCE，在△ADC与△BCE中，∵AB=BC，∠ACD=∠BCE，CE=CD，∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD=BE；（2）∵△ADC≌△BEC，∴∠ADC=∠BEC，在△OEM与△CDM中，∵∠OME=∠CMD，∠ADC=∠BEC，∴∠MCD=∠EOM，∵∠AOB=∠EOM，∠MCD=60，∴∠AOB=∠MCD=60
例5.如图，在△ABC中，AB=BC=AC，∠ABC=∠C=60，BD=CE，AD与BC相交于点F，求∠AFE的度数。
【解析】:欲求∠AFE的度数，由已知条件∠ABC=∠C=60，可推断：需建立起∠AFE与∠ABC或∠C关系；从图形位置上分析，∠AFE的位置在三角形中间，所以需通过几何性质或定理把它的图形位置与∠ABC或∠C的图形位置“拉近”，利用外角定理：∠AFE=∠BAF+∠ABF，即把∠AFE的图形位置拉到△ABC的“边缘”，再利用△ABC≌△BCE，即可建立∠AFE与∠ABC的关系。
【解题过程】:在△ABD和△BCE中，∵AB=BC，∠ABD=∠C=60，BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，∴∠AFE=∠BAF+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60.
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