几何学远不止欧几里得这么简单，非欧几何才是现代几何学的重点！
学霸数学2018-11-08 15:18
几何学包罗万象，分支众多，其分类其实并不是绝对的，我们从几何学的发展大致可以将它分为欧氏几何与非欧几何，非欧几何又分为罗氏几何和黎曼几何、仿影几何和拓扑几何等．
欧氏几何
欧氏几何开始研究的是直线和二次曲线（圆锥曲线：椭圆、双曲线和抛物线）的几何结构和度量性质（长度、面积、角度等），当然平面几何自然的过渡到三维空间的立体几何，为了计算面积和体积问题，人们已经开始涉及微积分的概念．笛卡尔引入坐标系之后，代数与几何的关系变得明朗，且日益紧密，这就促使了解析几何的产生，从解析几何的角度出发，几何图形的性质可以归结为方程的分析性质和代数性质．总体来讲，欧氏几何的几何结构是平坦的空间结构背景下考察，没有真正关注弯曲空间下的几何结构．欧几里得几何公理本质上是描述平坦空间的几何特性，特别是第五公设引起了众多数学家对它的质疑．由此，人们开始关注弯曲空间的几何即非欧几何．
非欧几何
非欧几何的分类主要分为罗氏几何和黎曼几何．欧氏几何的第五条公设：若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。 也叫平行公理，也可以简单的说：过直线外一点有且只有唯一一条直线与已知直线平行，这是欧氏几何的理论基础．
罗氏几何也称双曲几何是俄国数学家罗巴切夫斯基创立并发展的，它是独立于欧氏几何的公理系统，欧氏几何的第五公设被替代为＂双曲平行公理＂：过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行．在这种公理体系中，通过演绎推理可以证明一系列与欧氏几何完全不同的命题，例如三角形的内角和小于180度．凡是涉及平行公理的结论，罗氏几何的结论都是不成立的．
黎曼几何：由德国数学家黎曼创立，也称椭圆几何，在这套公理体系下，并不承认平行线的存在，任何一个平面内两条直线一定有交点，认为平面内的直线可以无限延长，但总的长度是有限的，黎曼几何的模型我们可以看作一个经过改进的球面．随着黎曼几何的发展，发展出许多的数学分支，（代数拓扑学、偏微分方程、多复变函数理论等）成为微分几何的基础，甚至成为广义相对论理论基础．
射影几何
与此同时，为了把无穷远的那些虚无缥缈的点引入观察范围，人们开始考虑射影几何．它研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科．也叫投影几何学．射影几何在航空、测量绘图、摄影等方面有广泛的应用．而作为射影几何的子几何仿影几何又独立发展．
拓扑几何
拓扑学是确定几何图形或空间在改变开关后还能保持不变的一些性质的学科．它只考虑物体间的位置关系而不考虑形状和大小，其中重要的性质包括连通性与紧致性．它的发展促进了很多分支的进步，例如微分拓扑学、几何拓扑、代数拓扑等．
其实要将几何学严格的分类出来非常困难，很多几何学分支独立发展但又与其它分支紧密联系．例如欧氏几何发展下的解析几何直接促进了微积分的产生和发展，在研究弯曲空间的度量需要用微积分的方法去局部分析空间弯曲的性质，这样就促进了古典微分几何的发展，它又是黎曼几何的基础．而现代微分几何开始研究更一般的空间：流形，它同时又与拓扑学紧密联系，几何学各分支独立发展又相互促进．随着几何学的发展，这种联系只会越来越紧密，要分类更加困难．
我是学霸数学，欢迎关注！
举报/反馈
0
0
收藏
分享
