几何平均数的几何意义及与算术平均数的关系的几何解释
中庸论学2018-08-31 07:58
我们看两个数的情况。设有两个数a、b，其算术平均数为（a +b）/2，几何平均数为√ab，两者关系为（a+ b）/2≥√ab。下面我们从几何上来理解几何平均数的含义及算术平均数与几何平均数的关系。
如图1，⊿ABD为圆内三角形，AB为直径（故⊿ABD必为直角三角形），DD'垂直于AB，并将AB分成长为a、 b的 两段（注意DD'不一定为直径），现在若已知a,、b 两段的长度，问CD长度为几何？与a 、b有何关系？因为⊿ABD、⊿ACD、⊿CBD均为直角三角形，故此有以下关系：CD+ a=ADCD+b=BDAD+ BD=AB=（a+ b），于是有：CD+ a+ CD+ b= a+b+2ab等式两边化简，得：CD= ab即：CD= √ab。另外，由上图可见，（a +b）/2≥√ab（仅当DD'为直径时相等）。问题得以证明。
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