[洛谷日报第17期]树链剖分详解

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树链剖分就是将树分割成多条链，然后利用数据结构（线段树、树状数组等）来维护这些链。别说你不知道什么是树~~ ╮(─▽─)╭

前置知识

dfs序 LCA 线段树

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先来回顾两个问题：

1，将树从x到y结点最短路径上所有节点的值都加上z

这也是个模板题了吧

我们很容易想到，树上差分可以以O(n+m)的优秀复杂度解决这个问题

2，求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和

lca大水题，我们又很容易地想到，dfs O(n)预处理每个节点的dis（即到根节点的最短路径长度）

然后对于每个询问，求出x,y两点的lca，利用lca的性质 distance (x,y)=dis(x)+dis(y)-2*dis(lca) 求出结果

时间复杂度O(mlogn+n)

现在来思考一个bug：

如果刚才的两个问题结合起来，成为一道题的两种操作呢？

刚才的方法显然就不够优秀了（每次询问之前要跑dfs更新dis）

树剖是通过轻重边剖分将树分割成多条链，然后利用数据结构来维护这些链（本质上是一种优化暴力）

首先明确概念：

重儿子：父亲节点的所有儿子中子树结点数目最多（size最大）的结点；轻儿子：父亲节点中除了重儿子以外的儿子；重边：父亲结点和重儿子连成的边；轻边：父亲节点和轻儿子连成的边；重链：由多条重边连接而成的路径；轻链：由多条轻边连接而成的路径；

比如上面这幅图中，用黑线连接的结点都是重结点，其余均是轻结点，

2-11就是重链，2-5就是轻链，用红点标记的就是该结点所在重链的起点，也就是下文提到的top结点，

还有每条边的值其实是进行dfs时的执行序号。

变量声明：

树链剖分的实现

1，对于一个点我们首先求出它所在的子树大小,找到它的重儿子（即处理出size,son数组）

解释:比如说点1，它有三个儿子2，3，4

2所在子树的大小是5

3所在子树的大小是2

4所在子树的大小是6

那么1的重儿子是4

ps:如果一个点的多个儿子所在子树大小相等且最大，那随便找一个当做它的重儿子就好了。

叶节点没有重儿子，非叶节点有且只有一个重儿子

2，在dfs过程中顺便记录其父亲以及深度（即处理出f,d数组），操作1,2可以通过一遍dfs完成

dfs跑完大概是这样的，大家可以手动模拟一下

3，第二遍dfs，然后连接重链，同时标记每一个节点的dfs序，并且为了用数据结构来维护重链，我们在dfs时保证一条重链上各个节点dfs序连续（即处理出数组top,id,rk）

dfs跑完大概是这样的，大家可以手动模拟一下

4，两遍dfs就是树链剖分的主要处理，通过dfs我们已经保证一条重链上各个节点dfs序连续，那么可以想到，我们可以通过数据结构（以线段树为例）来维护一条重链的信息

回顾上文的那个题目，修改和查询操作原理是类似的，以查询操作为例，其实就是个LCA，不过这里使用了top来进行加速，因为top可以直接跳转到该重链的起始结点，轻链没有起始结点之说，他们的top就是自己。需要注意的是，每次循环只能跳一次，并且让结点深的那个来跳到top的位置，避免两个一起跳从而插肩而过。