极限到底是什么?牛顿也难自圆其说,直到这位教师给出终极定义

徐晓亚然

发布时间:03-1018:00

很多时候,我们现在看来似乎自然而然的数学概念,其实在盖棺定论以前,我们的前辈们都争得不可开交,场面一度惨烈到失控。比如现在微积分的基础性概念——极限,就曾经让牛顿自己也难圆其说,不过好在最终有一位中学数学教师给出了最精准的定义,微积分才成为毫无破绽的科学,也让那些深刻嘲讽微积分的人彻底闭上了嘴。

极限概念古已有之

伟大数学家 阿基米德

很久以前,人们在进行数学计算时就开始不自觉地用到了极限的知识。比如古希腊的阿基米德,他曾经得到球体积计算公式,他是基于力学中的杠杆原理来求解的。但是在用杠杆原理之前,他还是考虑过将同底等高的球和圆锥体进行切割,使得每个截面都相同,然后得出圆锥和球体积之间的数量关系,最后才最终得到了正确的球体积公式。

阿基米德求球体积公式过程

阿基米德虽然从头到尾都没有提到过极限的概念,也并未对这个概念进行系统的研究。但是他的很多数学成果里都有不少关于极限的痕迹,事实上,阿基米德也是古希腊对极限玩得最好的数学家,基于这个前提,他求出了许多当时看起来难度非常大的问题。他不仅得到了球的体积公式,还知道了球的表面积是其最大截面积的4倍,他还求出过椭圆以及抛物线的面积,这在当时能算出规则图形面积就算个数学家的时代实在是太过伟大了。

中国古代最伟大数学家 刘徽

那么在古代中国呢?不少著作里也都出现了极限的萌芽概念。比如《庄子》里《天下》篇里说到“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”意思是说,一个一尺多长的棍子,每天都砍掉一半,那么永远也不能把这个棍子彻底砍完。因为这个极限无限趋近于0,但是永远都不会是0。

哲学上的有点玄乎,那就来点数学上的干货。我国魏晋期间的伟大数学家刘徽,创立了割圆术来求圆周率,用了圆外切正多边形和内接正多边形的左右逼近来接近这个真实圆的面积。当边数少的时候可能误差很大,但是当正多边形越来越大时,很明显就能看出来内外正多边形夹攻真正的圆。这个过程可以永远进行下去,只要毅力足够,那么圆周率就会越来越精确。刘徽当时把圆周率的数值计算到了3.1416,这个与真实值只有万分之一的差距了。后来,祖冲之发扬了刘徽的割圆术,百尺竿头,更进一步,把圆周率推算到了3.1415926和3.1415927之间,误差在千万分之一以内。毫无疑问,这是一个相当牛逼的成就了。

刘徽创立之割圆术

不过奇怪的是,无论阿基米德,刘徽还是祖冲之都是在默认地使用着极限这个数学概念,却又没有系统地表达对于极限的深究,仿佛有意避开这个命题一般。不过那个时代数学水平也不是特别高,对于极限,大家都是不清不楚的,默默使用倒也相安无事。

微积分其实不完善

然而古人的这个偷懒却早晚是要后世的数学家来还的,这一切都是要从微积分的发展说起。话说牛顿和莱布尼茨两位大师,费尽千辛万苦在17世纪发明了微积分,这个数学史上最厉害的分析工具。使得人们对数学的研究从常量数学跨越到变量数学的领域,同时这也是古代数学与近代数学的分水岭。

牛顿大师

以往许多看似不可能解决的问题在微积分面前不值一提,只要你稍微掌握几个微积分的计算公式,穿越回去的时代,稍微出手,就可以得到在那个时代看起来都是划时代的数学成果。微积分的发明的确是让数学发展到了新天地,然而这套伟大的理论仍然是有瑕疵的。

莱布尼茨大师

比如微积分在处理无穷小和极限的问题时,含糊不清,甚至自相矛盾。比如在微分学有个洛必达法则,这是求分式极限的一个很好用的工具。

尤其是对于上述第一种情况,人们就是不理解,为什么这里的分母明明是无限趋近于0了,那就是等于0了,既然都等于0了,为什么这个分式还能求出极限值来,难道这个式子不应该是没有意义吗?这个漏洞,牛顿本人也难以解释,他在创立微分学里引用的是运动学中的例子,平均速度v是路程的增量ΔS与时间增量Δt的比值。当这个时间增量Δt趋近于0时,平均速度也就成了瞬时速度。牛顿此时意识到了极限这个概念的重要之处,但是他的物理学背景实在太深。

牛顿难以自圆其说

于是牛顿定义:

“两个量和量之比,如果在有限时间内不断趋于相等,且在这一时间终之前互相靠近,使得其差小于任意给定的差,则最终就成为相等。”

这段白话似乎让任何一个没有多少数学常识的人都可以挺懂,但是这在数学上确实漏洞百出。牛顿是何许人也,他可是英国皇家学会院长,他的理论肯定会遭到最审核的审核和论证。由于牛顿自己也难以解释全部的微积分奥秘,尤其在无穷小这个概念的处理上。这下有好戏看了,许多人开始质疑。

牛顿表示压力很大

你说速度是路程增量ΔS与时间增量Δt之比,当时间增量Δt等于0时,就是瞬时速度,那这个Δt到底是不是0?如果是0,又怎么可以放在分母上呢?如果不是0,为什么你在某些计算场合下会自动地将这不是0的微小部分给去掉呢?说到底人们还是在怀疑,微积分在对于无穷小量的处理是否仍然存在着特殊的技巧,时而可以把无穷小当做0,时而又不可以作为0。英国大主教贝克莱对微积分的攻击最为猛烈,他说微积分的推导是“分明的诡辩”,用了错误的思想和错误的方法得到了正确的结果而已。

主教 贝克莱是牛顿最怕的喷子

其实大家的担心也是有道理的,大家对无穷小和极限这两个概念感到深深的恐惧。以至于微积分的历史地位开始动摇了,大家都怕有类似蝴蝶效应的情况出现。这里只是用蝴蝶效应来表达一下当时人们对于无穷小量的恐惧,蝴蝶效应并不是从那个时代就有了。1961年,美国气象学家爱德华·罗伦兹用计算机来模拟一个大气环流的数学模型,他在前后两次的初始值只相差千分之一,可是到最后计算的结果却是完全不同。等于初始情况下的一丁点差异都可能造成结果完全不一样,那个时候的人们就是怕这么一丁点的差距,造成计算结果全部错误。

初始微小差距引起结果巨大不同

人们开始努力定义极限

达朗贝尔

看来这个极限的漏洞再不堵上,势必会造成微积分学的崩塌。在历史上,我们通常把关于极限与无穷小量的争论叫作第二次数学危机。18世纪时,达朗贝尔等人一致同意必须将极限作为微积分的基础性概念,达朗贝尔也给出了自己对于极限的定义:

“一个量是另一个量的极限,假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量。”

这仍然是不够到位的,表面上来看,这是一个几何直观的定义,仍然没有能从根本解决上面关于Δt似零非零的问题,这仍然需要改进。

柯西大师也出手了,他解决了无穷小量是否应该等于0的问题。

柯西大师

“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值,最终使变量的值和该定值之差要多小就多小,这个定值就叫做所有其他值的极限值,特别地,当一个变量的数值(绝对值)无限地减小使之收敛到极限0,就说这个变量成为无穷小。”

这段定义看起来相当冗余繁杂,但是却给出一个正确的信息,无穷小是一个以0为极限的变量,它可以无限接近0,而本身并不是0。这就完美地解释了,为什么无穷小量作为分母时,可以不看做是0直接除,为什么无穷小量在别的计算中又可以直接舍去。

微小量扩大一万倍不可忽略

现在我们可以解释为什么柯西认为无穷小是一个极限为0的变量就没事了?上面提到的蝴蝶效应,提到的初始值差一丁点都会引起结果的巨大不同。然而这里的一丁点,虽然也很接近0,但它是一个常量,并不是一个极限为0的变量。倘若我们把这里的数轴标度扩大一亿倍,这里的初始值仅相差的一丁点也被扩大了一亿倍,而此时,任何微小的数乘上一亿都很有可能扩大到能够注意的范围了。你再用这个值去计算,很明显结果也将完全不同了。然而如果你的初始值是差距了一个无穷小量,情况就完全不同,这是个变量,无论是把数轴的标度扩大到多少倍,你会发现,这个差距值仍然是无穷小量。不会因为你把这个无穷小量乘了一亿倍,也变成了不可忽视的一个数值了。

无穷小量扩大一万倍仍可忽略

同学们以为关于极限的讨论就到此为止了吗?然而并没有,数学家这帮吹毛求疵的家伙对待数学问题的态度实在是太严格了,有一丁点的瑕疵和不足都是不能接受的。如果你非要挑柯西的解释有什么不妥,柯西的表述里几何学的味道太浓,不太像是一个纯粹的数学定义,看起来像大白话。

魏老师何许人也?

卡尔 魏尔斯特拉斯

所以在找到最精准极限定义之前,还需要人加上最后一根稻草。很快这个人就出现了,魏尔斯特拉斯,这是一位德国数学家,出生在1815年,虽然他的家庭不至于像一些天生饥饿交加的数学大师们一样,但是他过得也不是很快乐,因为他的父亲过于强势,纵然小魏同学天赋异禀,精通德语,拉丁语,和数学。可是在中学毕业之后,老魏却强烈希望他去学法律和商业,可能跟老魏是政府的海关职员相关吧。不过话说回来,律师和商人都是相当不错的职业,只不过这两个都不是小魏同学喜欢的。

拉普拉斯

然而小魏最终还是去学习了这些课程,学的是这个专业,但那时小魏花了相当大的功夫在自己喜爱的知识上。他孜孜不倦地阅读起了拉普拉斯等的名著《天体力学》,这部巨著让他看到了数学的魅力,也确定了数学才是他的挚爱,毕生追求的目标。

天体力学之三体问题

1841年,小魏拿到教师资格证,并在两处很偏僻的中学当了十几年的中学教师。那个时候的欧洲其实学校也不是很多,老师就更加匮乏了,虽然小魏主营是数学教师,但是他也兼任着很多别的科目,比如德语,物理,体育等等,我们通常说的你的数学是体育老师教的吧?魏老师的学生体育的确是数学老师教的。

“ε-N”语言横空出世

可想而知,那个时候魏老师的教学任务有多繁重,单单是这些科目的改作业工程量就。。。

魏老师

但是魏老师仍然挤出时间来进行数学研究,这期间他阅读了大量数学大师们的成果,比如阿贝尔的椭圆函数论等等。也就是在这期间,他给出了关于极限的最精准定义,完全消除了柯西陈述中还残留着的几何影子,这就是著名的极限“ε-N”定义。

什么是“ε-N”定义?

“ε-N”定义

这段话,你再也看不到任何几何学的影子,用的都是专业的数学语言,有逻辑定义,有逻辑推导,还有不等式作为表述,这是一个严格的代数定义。说真的,这个定义看起来很抽象,事实上,你若真的了解这句话的含义,就会觉得真的是一个字还都不多。一直到现在的高等数学教材里还在使用这个定义。我们来通过一个例子来解释一下这个苛刻并且奇怪的定义。

简单例题

定义里的ε并没有指定范围多少,只知道是大于0,我们只要找到一个大于0,并且能再找到一个对应 的N就行。由于ε的取值具有任意性,我们取ε^2也是可以代替定义里的ε的,就取ε^2=1/25,于是。

简单例题之证明

这里的ε虽然具有任意性,但是当ε取得越小时,则表明取值与极限越接近。事实上,ε虽然是个变量,但是我们仍然取到某个值来比较,然后通过设置N来达到定义的条件。比如当这个N越大时,我们则认为,在求得真正的极限之前,已经验证了许多初始值。有了N之后,我们就不用再去一一验算,因为在这之后的取值与真实极限的差距都会在ε以内。而事实上,我们只要求N存在,并不是十分关心这个N是多少。

极限定义解决 第二次数学危机基本结束

通过这个关于极限的定义,无穷小量就彻底被认为是一个极限为0的变量,至此,无穷小量终于被函数收编,再也不会是人们争锋相对的焦点了。同时也宣告着,第二次数学危机也就基本上解除了,微积分的理论终于可以高枕无忧了。

为何要如此严格定义极限?

可能有很多同学还是觉得不就是一个概念的定义吗,用得着弄得跟大战似的,一代一代数学家前赴后继地上去?在数学的世界你必须这样,就跟公司会计的年终对账一样,一年公司流水几十亿,你少了一分钱对不上,在某些情况下都必须要找出原因来。数学也是如此,数学家曾经还怀疑为什么1+1就等于2,乘法为什么有结合律和交换律?这是你觉得还有必要解释吗?

核算账目必须丝毫不差

数学家眼里,觉得的确无法用更浅显的理论来证明这些最最基础的东西,于是就干脆创造了一个叫做皮亚诺公理的数学体系,来支撑这些最基础的算术法则。你没看错,这些在这套公理里都是可以被解释的,或者叫可以被“证明”的。

上帝的造物编号 皮亚诺公理

看到魏老师的例子,晓然菌还是真的很敬佩那些常年在繁杂教学工作下的人们,还可以抽出时间来研究出新的理论,并没有被这繁重的工作量压垮。就像这里,一个牛顿都难以自圆其说被喷得不行的基础性理论,最终在一位不知名的中学教师手中被终结。牛顿真的应该要好好感谢魏尔斯特拉斯,完成了他的夙愿。

柏林工业大学

后来终于有人发现了魏老师的突出贡献,这么伟大的人才在一座中学里实在是太屈才了,于是在1856年,在魏老师当了15年中学教师之后,终于成了柏林工业大学的教授,从此平步青云,后来又转到柏林大学任数学教授,直到1873年,他出任柏林大学校长。

从始至终,他都是一位非常优秀的传道授业者,他是一位数学大师,更是一位教育大师。

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