真是闻所未闻,2006年8月,马德里菲尔兹奖,数学领域的诺贝尔奖章被授予了一项史诗般的成就,这让人称赞的成就是最终证明了几乎不可能的庞加莱猜想。
一个世纪前,自从这个猜想第一次被提出来,有很多数学家为此付出了艰苦努力而无法突破。最后,这枚奖章,它的获得者是来自圣彼得堡的格里戈里·佩雷尔曼。接下来的进程,就太不可思议了,佩雷尔曼博士他本人拒绝领取这枚奖章及奖金,而且他还玩起了消失,从这个圈子消失了。
每四年一次的菲尔兹奖还从来没有人拒绝它,有没有觉得这个“拒绝”很有趣呢?
佩雷尔曼博士之所以拒绝,或许和他的工作与生活一样有趣。孤僻的天才为什么要摒弃被授予的荣誉,并且看似他已经放弃了他自己喜爱的工作?在世间存在了百年的魔咒定理,庞加莱猜想一道数学界的难题,最后被他证明了,他用自己的聪明才智战胜了艰巨、神秘与绝望的庞加莱猜想。
庞加莱猜想是1904年在巴黎被提出来的,它的始作俑者就是亨利·庞加莱,一位不仅精通数学,而且也精通物理、哲学和其他领域的大师,作为西方思想领域里的科学巨匠,他的地位排名堪比达芬奇和牛顿。一个世纪以来,数学家们孜孜不倦地为解开庞加莱猜想,这个已知的命题而努力。现在,要感谢格里戈里·佩雷尔曼的突破,这是最后的证明定理。
庞加莱猜想
庞加莱的陈述:任何一个单连通的封闭的三维流形,一定同胚于一个三维的球面。看不懂?正常,三火娃也没看懂,现在我再用另一个数学家的解释通俗的解说一遍。
有一个很形象的方法可以去接近对庞加莱猜想的理解。
但是,是个艰难的思考,如下:拿一个火箭筒,用一根非常长的绳子拴住它,然后把它发射到太空,它的底部被根绳子拉着在整个宇宙里,火箭自由地翱翔,火箭完成了它环绕宇宙的旅行,安全地返回我们地球。
发挥一下想象力,你在底下双手紧握的绳子,刚刚被拖进太空又带回来,作了一个巨大的循环,现在,如果你真地使劲拽,你可以完全往回收集它,作为一个收缩循环。你在收集这根非常长的绳子同时,肯定会想知道它是什么形状?而它的形状就正好是宇宙的形状。虽然在现实中,你无法看到这个绳子圈出来的轮廓是什么样的,但你可以想象一下你从宇宙外面观看这个绳子,是不是就能看清楚轮廓了呢?
简单来说,庞加莱猜想的设定这样旅行的含义,完全是为了探究宇宙的一般形状。
庞加莱想象从宇宙内部认定宇宙形状的一种方法……但证明是非常困难的,花了一百年时间,许多数学家为此探索了一个世纪。是什么让庞加莱的猜想这样不同于普通数学?改变观念也许可能对你有帮助。
拓扑学
二十世纪的数学家们,他们的观念特别是有关几何学的世界看起来,就像是由“X”和“Y”支配,还有微积分,它是微分几何的世界。牛顿,科学巨人,他发明了我们现在的微积分、微分几何,基本上是用精细的方法、数学公式去解读形状,可以说是严谨的数学。
二百年后,庞加莱,二十世纪的思想家,庞加莱的推论微分几何也不能充分解释我们宇宙的未知形状,一个全新的概念框架是必须的了,由此诞生了拓扑学科,这个新的数学分支,被派上了用场去研究形状。庞加莱的论文和手稿写满了普通数学、不可思议的图形和公式。庞加莱猜想,那个宇宙形状的问题,需要这个数学创新。
拓扑学,被庞加莱创立新数学分支,在拓扑学里,甜甜圈和咖啡杯是相同的形状,拓扑不会使用很多困难的方程,它是获得普通理解的灵活方法。因为在被称之为拓扑学的领域,庞加莱看似在用不同的语言来表达。根据早期数学微分几何台面上的物体形状各异,但是拓扑学家不会为这些形状差异困惑,有灵活的方法。是不是很想知道那要怎么做啊?盘子、勺子和茶壶盖都可转化为球形,咖啡杯的一个变形,像一个甜甜圈,而茶壶就像是个双环甜甜圈,庞加莱用球形的视角归类物体,它只是有孔数的物质。
庞加莱猜想,一百多年前,难道数学家们的问题,甚至让他们近乎癫狂。在历史进程里,或许,你开始明白,为什么作为一名思想家,庞加莱的历史地位比肩于达芬奇和牛顿?当然庞加莱本人也没有证明他的著名猜想,他自己给出的推论结束也是前瞻的和令人困惑的,对这个问题,他说到:“也许会引导我们到达遥远的世界”。自从庞加莱提出他著名的猜想,为了证明它导致了无法预料的前行。
两个男人之间的较量
第一次真正突破,是在50年代,为了深造,拓扑学家沃尔夫冈·哈肯他第一次接触到庞加莱猜想,他认为这是非常容易的,很容易去证明,结果他将自己的一生都献给了这个任务。
他总觉得,甚至可以说已完成了98%的证明,仅有那么一点点的迷惑,在继续工作,过一段时间他发觉仍然没有进展,然后当他又有了好思路。随着越来越多的深入,会让他感觉到起伏不定。哈肯遇到了强大的对手,一位数学家,希腊语名字是克里斯托·帕帕基里亚科珀乌洛斯,帕帕是他的小名,他们俩人有了激烈的竞争,争前恐后的想证明令人困惑不解的庞加莱猜想。
帕帕完全被庞加莱猜想给困住了,他尽可能的把他生命里的每一分钟都献给庞加莱猜想。这期间,帕帕和哈肯都关注了我们先前提到的收集中的宇宙旅行绳,那个难题会很纠结,要是有方法解析旅行绳上那些结扣,无疑那将会是对庞加莱猜想的证明。
后来,帕帕的对手,沃尔夫冈·哈肯他证明庞加莱猜想。可三天后,哈肯的论文里竟然发现了严重错误,他的证明被确认无效。
围绕庞加莱猜想,两个男人之间的竞争很快就戛然而止,帕帕死于突发癌症,在他家里发现有关庞加莱猜想的大量未发表的手稿,但最重要的部分是空白的。帕帕死后,哈肯继续钻研庞加莱猜想。
后来居上的数学天才
作为数学家会继续他们激烈的竞争,在证明庞加莱那恼人猜想方面的追求。一个数学天才诞生在了前苏联。
1966年出生的格里戈里·佩雷尔曼,又名格里沙,他的母亲是一名数学老师。因受母亲的熏陶与教育,格里沙从小就展现出了超乎常人的数学天赋与物理天赋。1982年,16岁时,他曾经是最年轻的国际奥林匹克数学竞赛的金牌获得者,作为荣誉,他的大名一直出现在他高中的光荣榜上,甚至在奥林匹克的那个天才团队的阵容里,格里沙也出类拔萃。
特别是他的解题速度、他的解题过程,令人惊讶地简约。格里沙只要寥寥几行,一个不可思议的简洁、漂亮的解答。有时候无人能解决的难题,他也轻而易举,他的雄心壮志就是在年轻时期形成的。数年后,格里沙出色的物理能力,帮助他解决了最困难的数学难题——庞加莱猜想。
六十年中期,能证明庞加莱的猜想的还没有出现,但在美国,因庞加莱而创造的学科,拓扑学在数学体系里还没有像今天这样出色。摇摆的60年代,在这个新时代,数学有了新发展,微积分受到重创。在那个年代,许多奖牌被拓扑学揽入怀中,尽管不是全部,但拓扑学的概念已超越数学的范畴,实际运用已经影响到其他学科和行业,仿佛看起来数学里的每件事都是拓扑学的。
证明猜想的版本不断升级
斯蒂芬·斯梅尔,人们把他看作60年代拓扑学的号召力,斯梅尔做的一切都不寻常,他作为非凡的天才受到赞美。斯梅尔不断地找寻以避免重蹈早期数学家的错误,有没有其他的可追寻的模式?
在本质上,庞加莱的著名猜想,就是一个人总在收集被送到三维宇宙里想象环状物,宇宙本质上是球形,要证明这,斯梅尔开发了一种新的间接方法。如果宇宙不是三维?如果空间有四维或五维?生活在我们认知的三维世界里,我们大多数人甚至不可能学会想到更复杂的宇宙,但这正是数学家想要做的,他们会构想头脑里不存在的世界。斯梅尔的策略是针对庞加莱猜想的这让很多人感到惊讶了,他的计划是先处理六维以上的,他用自己的方法处理,直到他也能处理三维空间最终证明庞加莱猜想。
斯梅尔想到在三维空间里能借用到过山车来解释说明,车辆平稳地在轨道上行驶,但看看过山车在空间里的投影轨道,自身反复穿越一个复杂的混乱,在地面这就是二维空间里的平坦世界轨道相交和纠缠。当我们改变观点回到三维空间会发生什么?当然轨道自身不会相交,一切只是空间数量的增加,从二维到三维。同理,斯梅尔的证明已经考虑到了庞加莱猜想,三维空间里的结扣还没解决,在高维空间里是可以被解决的,证明庞加莱猜想的一个版本一般要到五维或更高。1966年斯梅尔荣获菲尔兹奖章,但是斯梅尔的突破策略自身有个令人沮丧的纽结。
瑟斯顿猜想的诞生
庞加莱猜想的证明走进了另一条死胡同,但有一条新途径被威廉·瑟斯顿提了出来,一名绰号“魔术师”的数学家,正好解决结扣,那个曾经困扰早期数学家们证明庞加莱猜想的难题。新神话,从本质上讲的确需要。
关于庞加莱的猜想,你会得到建议,如果绳子被送入宇宙能作为环状物被收集回来,那么宇宙本质上就是球体状。但如果绳子不能以那样的方式收集,那么宇宙就像甜甜圈或者其他?一点没有谈及到这个问题。瑟斯顿对这点非常痛苦,既然宇宙是非球形,它会什么形状?这就成了他革命性新方法的起点。
宇宙里可能会有什么样的形状?瑟斯顿获得一些来自他周围的直接提示,他开始归类流行和拓扑形状。那么我们宇宙的形状该如何归类呢?从外面你是看不见的。经过十年的曲折探索,瑟斯顿拿出他惊人的成果,1982年他公开发表的主题论文包含了一个全新的推断,瑟斯顿认为:不管怎样,宇宙的整体形状不可能会超过8种碎片类型。这个大胆的命题被称作瑟斯顿的几何化猜想。
瑟斯顿猜想说有些东西类似我们的宇宙,不管怎么复杂,宇宙看起来最多也只包含8种碎块。最让数学家惊讶的是瑟斯顿几何化猜想的宏伟范畴,这其实暗示庞加莱猜想是个特例。让我们假设瑟斯顿的提议,宇宙包含最多八种碎块,根据瑟斯顿八碎块之一的球面形剩下七碎块是非球面形,即使是数学家理解起来也就很困难。
现在我们唤起在大脑里的庞加莱猜想的绳子,如果宇宙里的碎块是非球面的,绳子将会被卡住,不能作为收缩环而被收集。所以,如果几何化猜想是正确的,如果绳子没有被卡住,能被收集,宇宙必须是球形的,庞加莱一定是对的。因此,最好的策略是攻克庞加莱的猜想,也证明瑟斯顿的几何化猜想。
辉煌时刻的到来
于是数学家转移他们的重点,从结扣到宇宙里,八种类型的碎块,而不管宇宙的整体形状。1990年,数学家们聚集更深入地专研宇宙的八种碎块,同期一位年轻人抵达美国,这是研究庞加莱猜想的一个转折。这位年轻人就是格里戈里·佩雷尔曼。
佩雷尔曼的专业是微分几何,它与杰出的数学分科拓扑学相比已经失去了优势。在美国。佩雷尔曼为他自己的专业做出了引人注目的成绩。1994年,佩雷尔曼用他的证明解决了一个被称作“灵魂猜想”的微分几何里的难题。2002年后的数学界,因为轰动性的消息嘈杂起来,那就是解决瑟斯顿几何化猜想和胖加开猜想的证明,已经张贴在互联网上了。过早宣称已证明庞加莱猜想习以为常了,当最新的互联网帖子出现后,大多数数学家开始还是怀疑的。不管多么严谨的数学家检验证明过程,他们找不出任何瑕疵,但是,争议在于它是如此原始和简洁,有些人仍然怀疑有逻辑空白存在。
2003年美国数学学会邀请在互联网上的证明作者到普林斯顿大学和其他会场作见面解释,普林斯顿大学会场被塞得满满的,观众当中包含有那些著名的数学家,其中有想证明庞加莱猜想的拓扑学家,给他们讲述的作者正是格里戈里·佩雷尔曼。令所有数学家非常惊讶的是佩雷尔曼解决的方法,当今拓扑学的解析和阐述里没有相类似的方法。佩雷尔曼当然使出自己擅长的微分几何,但也用到了高中时代他喜爱的物理学技巧,他加热膨胀空间去证明宇宙最多包含八类碎块。能量、温度、熵,这些都是物理学的语言,在座的数学家他们一直都把拓扑学作为数学之王被击晕了。
佩雷尔曼,2002年至2003年总共在网上发表了三篇论文,数学界花了3年多的时间严格审查后才认可。瑟斯顿伟大的几何化猜想里假设宇宙里最大的八类碎块被证明了。从那证明,随之而来的长达一个世纪的庞加莱猜想里包含的,关于球形宇宙里收缩环绳的那些断言也是正确的,现在终于也被证明了。2007年7月,俄罗斯圣彼得堡,在他的历史性辉煌时刻,佩雷尔曼淡离了人们的视线。
庞加莱猜想破坏了这么多数学家的生活,从竞争到最后解决这个世界难题付出的代价,是普通人无法理解的。而庞加莱猜想只是七个千年奖问题之一,其他六个还在继续。为什么数学家舍身励志,甘愿为这些艰苦任务呕心沥血?为什么要有这样的体验?
数学符号或数字看起来或许没有什么意义,但它是推动人类发展的工具,更是灵魂。人类在这个证明过程中,不要说对数学发展的意义,更是让人类的思维方式、思维的广度和深度、逻辑能力、哲学等等,都得到前所未有的发展。
就像庞加莱猜想作为拓扑学中一个具有基本意义的命题,将有助于人类更好地研究三维空间,加深人们对流形性质的认识,更好的去探索未知世界。
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