数学专业学的是怎样的数学?如何证明3不等于0?

珂学原理

发布时间:19-10-2421:10

我最近阅读、了解了一些数学专业相关的知识,真可谓大吃一惊,大开眼界。

通常,印象中,数学专业研究的数学,不过就是难一点嘛,是我们这些业余选手学的数学的加强版。

这就好比以前高中课本中的一些加*号的章节,或者历史课本里的小字部分,啥意思?

高考不考嘛。

似乎,他们学的,应该就是我们考试不考的内容,仅此而已。

但实际上,完全不是这样。

打个比方:

用软件的人,和开发软件的人,显然不是一类人。

用软件的可能是个会计,或者是炒股的散户,或者是网购剁手党,甚至是路边炒饭的大哥,他们来自各行各业,只不过因为业务需要而使用某些软件。

而工程师呢?他们面对的,其实是代码,是程序。

所以,用软件的和做软件的,不是一类人。

同理,大学里的“数学专业”和学习中用到数学的“理工农医专业”,所学的数学,也不是一回事。

举个例子:

什么是自然数?

凡人眼中的数学

定义 自然数就是集合:

N := {0, 1, 2, 3, 4, ······}

中的元素,我们将N称为自然数集

通俗地说就是,从0开始,无休止地往后数(shǔ)所得到的所有数(shù)。

自然数不就是012345一直往后数嘛,这高大上的集合的概念都用上了,看起来应该没问题啊。

数学专业眼中的数学

但是,对于实分析来说,这个定义漏洞百出,好多问题悬而未决:

什么是“往后数(shǔ)”? 0, 1, 2, 3, 4, 5是什么鬼?这些符号尚无定义。 3和0不相等吗?如何证明? 可以往后一直数(shǔ)下去吗?是否有尽头?如何证明?

相当有病吧。

对,这就是我刚才说的,数学专业用到数学的其它专业,是两个不同的概念。

现在,我们展示如何解决前面提出的那几个问题

首先,我们直观地感受到,自然数的主要规律是:

后一个数相比前一个数在“增长(zhǎng)”。

在C语言中,增长运算用++来表示,因此,我们首先说明,用n++表示n的“下一个数”。

公理10是一个自然数。公理2 若n是自然数,则n++也是一个自然数。

所谓公理,是不用证明的,你大可自己创造一套公理系统,但应该不会比数学家的更好使。

有了这两条公理,我们就可以得到很多自然数:

0, 0++, (0++)++, ((0++)++)++, ······

但是,我们发现,这些符号过于冗长,因此,我们定义:

定义11是0++, 2是(0++)++,3是((0++)++)++,等等。

你完全可以定义成罗马数字ⅠⅡⅢ,或者①②③,甚至火星文,你习惯就好,因为,这和怎么书写无关,123只是一些无关性质的符号而已。

于是,我们就可以证明:

命题13是自然数。

证:根据公理1,0是自然数,又根据公理2,0++是自然数,再用公理2,1++是自然数,再用公理2,2++是自然数,因此,3是自然数。

冷静,还没完。

这个序列可以一直往后增长,但会不会有尽头?

比如,0123401234·····,这也是一直往后增长喔。

因此,我们必须给出一个说法:

公理30不是任何自然数的后继,即对于每个自然数n,都有n++≠0.

有了这个公理,我们就可以证明:

命题23不等于0.

证:根据我们刚才已有的原理,3是0的增长的增长的增长,因此,根据公理2,3是一个自然数,又根据公理3,3≠0.

但是,还有问题。

我们数着数着不会回到0,那是否会回到2或者3或者其它的数呢?

因此,我们也要作出规定:

简而言之就是,

这套公理系统被称为Peano(1858-1932)公理,限于篇幅,我们不在此展开第五条公理,因为这些内容已足够说明:我们在生活、大学、工作中用的数学,远不是数学真正的样子。

因此,大家在报考数学专业时,还是得慎重考虑:

这数学,是数学专业的数学。

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