量角器可以测角度,什么仪器可以测面积?

珂学原理

发布时间:19-10-2322:39

我们知道:

直尺可以测长度; 量角器可以测角度。

那么,有没有一种仪器,可以测量不规则区域的面积?

所谓不规则区域,就是边界“弯弯扭扭”的区域,比如下图红圈中的湖泊:

有没有一种“尺”,可以测量这种图形的面积?

竟然有。

它就是:

求积仪(Planimeter)

这货长这样:

两根棍(arm),中间用轴(pivot)连接,可自由转动。下端有个滚轮(measuring wheel),用来累计滚动了多远。

轮子的滚动方向垂直于棍,这一点很重要,稍后解释。

使用方法嘛,很简单。

比如,测量粉红色矩形区域的面积:

只需拽着tracer,用肉眼对准边界线,绕一圈就行:

于是,就测出了这个矩形的面积:

一格为20cm,5.1格就是102cm,而真实值为100cm,误差仅为2%。

当然,对于不规则图形,操作方法完全一样,绕着边界跑一圈即可:

00:10

误差为2%左右(这种手工版)。

那么,这种神奇的设备,究竟是什么原理呢?

数学原理

现代意义上的求积仪,是由瑞士数学家Jakob Amsler-Laffon于1854年发明。

其原理的数学证明还有点复杂,要用到古尔丁定理(Guldinus theorem)、格林公式等。

由于本专栏主要介绍高等数学相关内容,因此,我们在这里仅结合格林公式,作简要介绍。

首先,轮子滚动的方向与tracer arm是垂直的:

因此,理论上,刻度只会累加垂直于tracer arm方向的运动。

那么,假设,我们要测量的轨迹如下图红线所示。

考察一下轨迹上的A点,在A点附近,即使tracer运动一小段距离ds,滚轮也不会随着运动。因为,在A点附近,tracer的运动方向滚轮的滚动方向是垂直的。

此时,滚轮的读数不会增加。

但是,如果我们考察一下B点就会发现,B点附近,tracer的运动方向滚轮的滚动方向相同。换句话说,在这一“瞬间”,这两个运动方向是平行的。

此时,滚轮的读数会增加。

为方便讨论,我们记红色的曲线为Γ,曲线Γ上任意一点处的单位切向量为t,而垂直于tracer arm且指向逆时针方向的单位向量为n,如图:

则有:

点乘很好理解,表示一小段弧ds在n方向的投影。

那么,把所有的投影累加起来,就可以用①式曲线积分来表达(曲线积分类似于定积分,表示一种求和运算,这与不定积分是两码事)。

因此,这个积分的结果表示:

tracer逆时针绕Γ一圈,轮子累计的里程。

这还不够,因为我们要求的是曲线围成的面积

正巧,我们还有个格林公式

按照课本上的说法:

格林公式可以把对封闭区域的二重积分,转换为沿该区域边界的线积分。

得到:

其中,Ω是Γ所包围的区域

不过,②看起来很吓人是不是?

没关系,它并非本次讨论的重点,重点是结论很简单

③的意思是:

轮子滚动的距离,就是(正比于)该封闭曲线所围成的面积。

意不意外?

惊不惊喜?

人不人才。

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