等腰三角形的存在性问题,有线段长度问题和角度问题。一般在解角度问题时,先将三角形的三个内角表示出来,再分三种情况讨论,求出参数的值。
例题:如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.
(1)试说明:△COD是等边三角形;
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?
分析:
(1)证明等边三角形的三种方法:1.证明三边相等;2.证明两个角或三个角等于60°;3.证明等腰三角形加一个角是60°;根据旋转的性质可得出OC=OD,即△OCD是等腰三角形,再加上旋转60°,即∠OCD=60°,通过第三种方法证明;
(2)通过△ADC≌△BOC可知,∠ADC=∠BOC=∠α=150°,那么∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°,可以判断△ADO的形状;
(3)表示出△AOD的三个角,分三种情况讨论。
(1)证明:∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,
∴CO=CD,∠OCD=60°,
∴△COD是等边三角形.
(2)解:当α=150°时,△AOD是直角三角形.
理由如下:∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,
∴△BOC≌△ADC,
∴∠ADC=∠BOC=150°,
又∵△COD是等边三角形,
∴∠ODC=60°,
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°,
∵∠α=150°∠AOB=110°,∠COD=60°,
∴∠AOD=360°-∠α-∠AOB-∠COD=360°-150°-110°-60°=40°
∴△AOD不是等腰直角三角形,即△AOD是直角三角形.
(3)解:∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α;∠ADO=∠ADC-∠CDO=α-60°;∠OAD=180°-∠AOD-∠AD0=50°
①当AO=AD时,∠AOD=∠ADO,∴190°-α=α-60°,解得:α=125°
②当OA=OD时,∠OAD=∠ADO.∴α-60°=50°,解得:α=110°
③当OD=AD时,∠OAD=∠AOD.∴190°-α=50°,解得:α=140°
综上所述:当α的度数为125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形。
在解这类题目时,先表示出三角形各角的度数,再分三种情况讨论,得到关于参数的方程,通过解方程得到参数的值。
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勤十二谈数学

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