九年级数学,直角三角形内切圆问题延伸

初中数学

发布时间: 18-04-2021:25

在人教版九年级数学上册课本第103页有这样一道题目:

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的长分别为c,a,b。求△ABC的内切圆半径r。(图形如下图所示)

题目

根据这道题目,可以推导出直角三角形内切圆半径的两种计算公式。

思路一是利用切线长定理。把斜边AB用a,b,r三种字母表示出来,最后推导出a,b,c和r的第一种关系式。

思路二是利用面积法,连接AO,BO,CO把三角形ABC分为三个小三角形,这三个三角形的面积加起来等于二分之一的AC乘BC,从而推导出a,b,c和r的第二种关系式。

具体做法如下图所示:

两种解法

熟记这两个公式,能快速解决许多相关的填空题。例如下面这道题目:

《歌词古体算题》记载了中国古代的一道在数学史上名扬中外的"勾股容圆"名题,其歌词为:“十五为股八步勾,内容圆径怎生求?有人算得如斯妙,算学方为第一筹”。当中提出的数学问题是这样的:今有股长15步,勾长8步的直角三角形,试求其内切圆的直径。

分析:根据题目可知:直角三角形三条边长分别为8,15,17。所以使用第一个公式r=1/2(8+15-17)=3,所以直径为6。使用第二个公式的话,r=8X15/(8+15+17)=3,直径为6。

延伸:这一种类型的题目还可以从特殊到一般,由直角三角形到一般三角形。

(2017·武汉)已知一个三角形三边长分别为5、7、8,则其内切圆的半径为多少?

分析:这道题目的解题思路其实和上面的解法2相同,就是用面积法。具体解答过程如下图所示:

解答

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