万万没想到！贝叶斯定理还能用来把妹……
超级数学建模2021-02-02 09:59
贝叶斯定理
原来可以用来把妹
今天，小天有点烦躁地拿着个笔到处走来走去，超模君实在看不下去，就问了小天到底在烦些什么，原来小天在纠结贝叶斯定理到底厉害在哪里！
这问题，超模君我会啊！答案就是：可以用来把妹！
打个比方，刘同学看上了个漂亮的小姐姐。但是他觉得小姐姐平时比较高冷，长得又好看，肯定难追，追了也没用。
于是超模君抛出了一个问题，即让刘同学求小姐姐对自己的好感度：P（小改改好感度＞80）=？
刘同学：“不知道啊，我哪知道人家的想法，感觉不出来，反正就是觉得没戏。”
超模君：“那你有追高冷漂亮小姐姐100000次的重复经历吗？这样我们统计一下你得手的次数，按照大数定律...”
按频率学派的观点，一个事件的概率可以用大量重复试验之下事件出现的频率来解释，这种解释不取决于主体的认识。
但是问题是，对于现实中的很多过程，我们无法进行大量重复实验，从而也就无法求取其概率。即无法求得客观的模型参数，在这种条件下统计概念和方法的频率解释完全没有现实意义。
但，这...也没事，我们还可以求助贝叶斯！
而贝叶斯的概率理论则给了我们一个不同的思路，对于频率派来说，一个模型中的参数是“固定”的，而数据是在分布中随机采样的。
而对于贝叶斯派学者来说，我们观察到的数据才是“固定”的，而我们的模型的参数才是在一直变化的。
我们不停地观察数据，估计出来的模型参数就可能一直的变化。不仅如此，我们对于这个模型的参数可能会有一个最初始的信仰，称之为先验假设，一旦设置后了之后，我们就可以听由观察到的数据指导模型参数更新了。在这种观点中，我们的模型参数不再是一个参数，而是一个分布了。[1]
简单来说，就是盲猜小姐姐很喜欢刘同学！
刘同学：“这是你瞎蒙的，管啥用？”
超模君：“所以叫你先去试试啊！然后你通过她的反应，看看她对你好感如何。假如她跟你聊得很来，不就说明其实没有你原本想的那么难，但是她要是直接不理你，那估计就没什么机会了。”
于是刘同学厚着脸皮去尬聊了，结果不但小姐姐没有看起来那么高冷，俩人还互相加了微信。
根据贝叶斯定理，我们可以得出：
这个是由贝叶斯定理，结合刘同学尝试的结果，重新估计小姐姐对刘同学好感度的公式，对于这种无法进行大量重复实验求取其概率的情况，贝叶斯派的做法是：先假设一个非常主观的概率，然后通过反复测量（观测/尝试），来修正这个概率，使其变得客观。
而超模君让刘同学去试探一下，就是为了获取本次的观测结果。
再来说说公式的各个部分：
这个是之前超模君盲猜的妹子对刘同学的好感度，也就是贝叶斯定理中的先验概率（先于试验/观测的概率）。
而这个，是在小姐姐对刘同学好感度超过80时，估计出她对刘同学有60好感度的概率，我们称为似然概率，它描述了某一原因导致这个结果的概率。
似然这个词，有点晦涩难懂，不过它的英文你应该能体会出一些意义，likelihood，你也可以翻译成可能性，或者相似性。举个例子吧，比如你是个身经百战的情圣，你对自己的估计非常有把握，假设你估计小姐姐对你好感度为80，那么：
假如预估小姐姐对刘同学好感度是50，并且对自己的估计很有把握，那么似然概率的情况（分布）应该是这样：
如果对自己的估计很没把握，那应该是这样。
你可以不太严谨的这样理解：它描述了你这个人估计小姐姐好感度的能力水平。
接下来是这个部分：
P(同学猜好感度=60)
很朴素的来描述它就是：你猜测好感度是60的概率。它代表了你估计结果中的一种，而我们有诸多猜测的可能，如果我们用全概率公式展开它，就能理解它代表的含义啦：
它其实表示了在各种各样的真实情况下，估计出好感为60的概率，它依旧由似然概率和先验概率组成，似然概率我们已经说过，是由自己的估计水平决定的。
而先验概率部分，我们可以发现，这个全概率已经包含了所有真实值的情况，我们可以说这个概率，和小姐姐对刘同学真实的好感度的值无关，而与其分布规律有关，而先验概率是我们自己主观给定的，那么这个概率，应该是一个常数n。
而最后的计算得出的部分，我们称为后验概率，它是我们根据最初的猜测，结合刘同学的试探，得出的对小姐姐好感度‘更客观’的估计。
我们回头说说我们盲猜的先验概率：
这也只是诸多情况中的一种，要完整的描述小姐姐对刘同学好感度的各种情况，我们还是要看它的分布，比如盲猜的0.9，可能是这样：
在实际计算中我们将会用其分布规律来计算，重新估计小姐姐对刘同学好感度。
整个计算过程：1. 提供一个先验值2. 进行观测，获得观测结果3. 根据观测，修正先验，即求出后验
刘同学：“那你快算算小姐姐对我好感度到底多少！”
超模君：“别急，你先和小姐姐再接触一下，我还需要一些别的数据，然后你每次接触之后给我反馈，我再给你计算小姐姐的好感度，咱们持续跟踪。”
上面的计算过程中，如果我们持续追踪小姐姐的好感度，那么每一次都需要提供一个先验，然后进行观测，最后计算后验。那么我们如何获得先验呢？开始的例子，是我们随便猜了一个值，而现在我们每一次都需要一个先验，我们还要每个都猜吗？
实际上小姐姐好感度变化的过程，应该是有一定规律的，如果我们每步都随便猜一个，那么我们就相当于放弃了这些宝贵的信息，因此我们可以假设一个小姐姐好感度的预测方程，来给出每一次的先验值，不用担心，即便它非常不准确，甚至背道而驰，也不会过于影响我们的结果，这点在后面会展示。
过来几天，刘同学来找超模君：“emm... 感觉现在还是不太熟，第一次就要到了微信还是有点太膨胀了，就算40分吧...每次接触之后涨3分左右？”
为了简化计算方便说明，小姐姐的好感度的真实值初始为40，我将假设刘同学不会犯傻，好感度真实值会随着刘同学的不断接触而不断提高，并在第十次约会后能达到80点以上，好感度真实值公式：
根据刚才刘同学的假设，我们再引入一个小姐姐好感度预测方程，省的不靠谱的瞎猜：
其中Q符合均值为3的高斯分布，用来表示每次接触后好感度比之前上升3点左右。而刘同学的每次反馈（该次对于小姐姐好感度的猜测）存在误差，假设误差也符合高斯分布。
过了一个月。
用于模拟一个月内与小姐姐接触了25次，过程中直男朋友的反馈数据和根据贝叶斯定理修正后的好感度数据C++代码
结果：
可以看出，通过贝叶斯定理修正后的小姐姐好感度，比刘同学估计值波动要小得多。
并且，即便刘同学，膨胀到了极点，第一次接触后认为小姐姐已经不可自拔的爱上他了，好感度突破系统极限达到了999，即我们估计小姐姐对他好感度的初始值为999（程序中的plusX[0] = 999），也不会影响后续的结果：
反过来，刘同学因为极度自卑，认为小姐姐对他厌恶到了天际，好感度突破-999也是同样。
贝叶斯学派的思路，初看起来，对比概率派，其实是非常不“唯物”的。
“既然不能知道真正的概率，那我们就先猜一个，然后通过重复观测来修正它。”
但是它的结果非常符合“人类”的思考方式：即便刘同学自信爆炸，经历过几次热脸贴冷屁股之后也应该清醒了。
当然它也非常依赖我们“观测”（刘同学的估计）的准确度，比如如果将刘同学观测准确度的标准差由原来的10改为20，就能明显发现结果比之前更加不稳定（不准确）了，但是还是会比单纯的刘同学估计要“靠谱”一些。
这也非常符合作为人类的逻辑，把妹技术越低的人自然估计的结果越不靠谱。
并且即便刘同学最初对于未来乐观，认为每次和小姐姐接触都会增加好感度（小姐姐好感度预测方程中的，每次会面都会+3好感度），结果实际上小姐姐越来越讨厌他（真实值公式改为y = -15*log(x) + 40）：
也并不影响后续的结果。
这同样符合人类的逻辑：即便最开始有乐观预期，经历几轮沉痛打击之后，也不得不承认现实的残酷（误）
有点跑题了，这个过程其实并不是单纯的贝叶斯定理，而是贝叶斯滤波以及其延伸出的卡尔曼滤波的应用。
不过从中也能体会出其厉害之处。总结一下：
1.在不可获知真实测量值（概率）时，我们可以另辟蹊径，根据主观猜测以及观测，得到相对靠谱的结果。2. 其主观猜测的思想非常不唯物，但是又很符合人类的认知。3. 即便我们的预测（先验）非常不准确，也能修正成相对准确的结果。
写在最后
主观猜测（先验概率），非常不靠谱。只有通过不停的试探、接触，才能知道小姐姐对你的真实看法。
喜欢就应该大胆尝试，要学会厚脸皮不怕尴尬。不管好感度999还是-999，都需要接触几轮才能清楚。还要结合历史信息来看待现在，小姐姐突然对你好感度暴增/暴跌很可能只是幻觉（对应图中各处的峰值，实际水平远低于刘同学的估计，也低于修正后的后验），应该学会更加理智，做到宠辱不惊。
作者简介：菠萝包，日本名古屋工业大学 信息工学硕士。
链接：
https://www.zhihu.com/question/61298823/answer/1584195885
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