与三角形有关的定理
纳西妲的罐装知识2020-09-06 10:35
今天我们来讲讲三角形（文章有点长，需要耐心阅读）
一、
1、三角形的定义：三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形
注意哦，其实三角形的定义中，可以不强调同一平面内，因为三个点才能确定一个面。但是四边形、五边形等多边形就必须强调在同一平面内。
2、三角形的五心
①垂心：三角形三条高的交点
证明
已知：△ABC中，AB、BC两条边上的高分别为CD、AE，两条高相交于H。
证明：连接BH并延长交AC于F，易证∠CAE=∠CDE=∠EDH=∠EBH，所以AFEB四点共圆。所以∠AFB=∠AEB=90°。因此BF是三角形的高。及三角形的三条高相交于一点。
②内心：三条角平分线的交点
证明
已知：△ABC中，∠BAC、∠ABC的角平分线AD，BE交于I，连接CI并延长交AB于F
证明：过I作IO、IP、IQ交BC、AC、AB，易证IO=IP=IQ，所以CF是三角形的角平分线。
③、外心：三条中垂线的交点
证明
已知：△ABC中直线OD、OE分别是三角形的中垂线
证明：过O作OF⊥AB，连接AO、BO、CO，易证AO=CO、CO=BO，所以AO=BO，因此三角形AOB是等腰三角形，因为OF⊥AB，所以AF=BF。所以直线OF是三角形AB边的中垂线，所以三条中垂线交于一点
二、
一、锐角三角函数
1、定义
在Rt△ABC中，
sinα表示∠α的对边比上斜边（其中，∠α＜90°）
cosα表示∠α的邻边比上斜边（其中，∠α＜90°）
tanα表示∠α的对边比上邻边（其中，∠α＜90°）
2、增减性
如图所示，在保持AB=DE的情况下，减小∠α，可以看出，DF在不断减小，由勾股定理AB+BC=AC可知，AB不变，BC变小，则AC也变小，因此cosα会变大，tanα会变小，由三角形的商式关系tanα=sinα/cosα可知sinα会变小
3、取值范围
关于sinα还有cosα，由定义以及直角三角形的斜边恒大于直角边的性质可知，sinα和cosα的取值范围都是0＜x＜1
4、三角函数的基本性质
①商数关系：tanα=sinα/cosα
证明：如下图设Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边是a、b、c，则sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b。因此，sinA/cosA=(a/c)/(b/c)=a/c/b*c=a/b=tanA
②积数关系：sinα+cosα=1
如上图，sinA+cosA=a/c+b/c=(a+b)/c=c/c=1
5、应用
三角函数的一般应用就是测距，常见有以下几种
如图，，已知在Rt△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，BC=（10+10√3）m，求点A到BC的距离。
当然，还有一种就是两个角，在直角边的同一侧的也是类似。
三、
④旁心：三角形其中一个内角的平分线以及另外两个角所对应的外角的角平分线的交点
旁心的性质：到三角形三边所在直线的距离相等，旁切圆就是指与三角形的一边外侧相切，又与另两边的延长线相切的圆。由定义可知，每个三角形都有三个旁心，因此有三个旁切圆
如图所示：圆M，圆N，圆O即为三角形的旁切圆，MNO即为三角形的旁心
现在，我们就取其中的一个来证明
证明
如图，已知BM、AM为△ABC中∠ABC、∠BAC的外角平分线，连接CM，求证：CM为∠ACB的角平分线
∵BM、AM为∠ABC、∠BAC的外角平分线
∴MF=ME、ME=MD
∴MF=MD
∴CM为∠ACB的角平分线
∴M为△ABC的旁心
⑤重心：三角形三条中线的交点
重心的性质：顾名思义，重心嘛，当然就是你能用铅笔尖去托起这个三角形的地方。
对于重心相交于一点的证明，需要用到塞瓦定理
如图所示：已知：E、F分别为线段AB、AC的中点，连接BE、CF相交于G，连接AG并延长交BC于D，求证：D为BC中点
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