量子真空涨落和卡西米尔效应——真空的能量（计算过程）
老胡说科学2020-03-31 08:39
在这篇文章中，我将描述真空量子能量的一些重要结果。量子能量存在于整个宇宙的背景中。具体地说，我将在量子场论(QFT)中解释所谓的卡西米尔效应。卡西米尔效应是由于电磁场的量子真空涨落而作用于两个紧密平行的不带电导体板之间的一种小的引力。更具体地说，波动的虚粒子不断地存在和消失(根据海森堡测不准原理，它们在短时间内违反了系统的能量守恒)，对两个平行的板块施加一种辐射压力。
图1：平行板间卡西米尔力的示意图卡西米尔效应是由于存在完美导电板而导致的电磁场真空期望ε 中的变化 Δε 的结果。这种变化产生了板块之间的卡西米尔力。
图2：根据海森堡测不准原理，波动的虚粒子不断的出现和消失，因此在短时间内违反了能量守恒。量子标量场
为简单起见，我将遵循Zee并针对真正的无质量标量场φ而不是电磁场来计算卡西米尔力。原因是标量场是最简单的可能的量子场。它是描述一个标量函数φ(x, t)，其中参数x和t分别为空间坐标和时间坐标。。场服从克莱恩-戈登方程(KG)
方程1：克莱因-戈登方程标量场φ(x, t)。如果场φ质量方程变成了：
方程2：克莱因-戈登方程为无质量场φ(x, t)。在这种情况下，经典的汉密尔顿函数是
方程3：经典实无质量标量场的自由哈密顿量。正则量子化
在这一节中，我将遵循一个被称为正则量子化的经典场论的量子化过程。对于那些熟悉普通(非相对论性)量子力学中的量子化的人来说，这个过程是类似的。如果我们用QFT来处理变量，即场和它的共轭动量
方程4：φ和它的共轭π势头。作为运算符并施加正则对易关系：
公式5：根据正则量子化的标准程序施加在算子上的正则对易关系。量子标量粒子的一个例子是希格斯玻色子。
图3：希格斯玻色子探测。在这种情况下，一个质量为126gev的粒子被创造出来，然后，它衰变为两个Z玻色子，如果观察到的粒子是希格斯玻色子，这是意料之中的。真空的能量是通过对真空状态的期望值得到的：
方程6：真空的能量。用产生和湮灭来表示场，经过简单的代数运算，得到：
方程7：总真空能量，由谐振子零点能量对所有动量和整个空间的积分得到。这是谐振子在所有动量和所有空间上的零点能量。注意积分是发散的。在实际中，为了得到有限能量的哈密顿量，我们通常用H减去这个期望值，因为这个期望值是不可观测的。
方程8：从哈密顿量中减去它的无限期望值，后者是发散的。卡西米尔效应
虽然真空能量是不可观测的，但它的变化是可以测量的。只要我们适当地调整场的边界条件，就可以得到这些变化。这是我们将在本节中定量讨论的卡西米尔效应的基础。卡西米尔效应是以荷兰物理学家亨德里克·卡西米尔的名字命名的。
图4：荷兰物理学家亨德里克·卡西米尔。右边是他的原稿。为了计算这种能量变化，考虑如下图所示的实验设置。两个金属位置I和II之间有一个距离L，中间有一个额外的金属板III。I和III板之间的距离为x，如图所示。
图5：两个金属位置I和II被L隔开，中间有一个额外的金属板III。让我们考虑一下，板块之间的场是电磁场(在我们的计算中，为了简单起见，我们将返回标量场)。导电板的存在对场的波矢量施加了条件。将动量模态量化为：
方程9：场的动量被金属板的存在量子化了。为了避免不必要的混乱，我们也忽略y和z维度。总零点能量为：
方程10：总零点能量，动量被金属板的存在量子化。因为我们知道对应的模是：
方程11：贡献系统能量的模态。现在，高频模式泄露了。这可以通过在模态中引入衰减的指数因子来解释。换句话说，高频波不能留在板块内(它们看不见)。然后删除模式与λ< <a（一个是未知参数)通过选择下列正则化：
方程12：使用指数来截断高能量模式。我们用公式12求f(x)：
方程13：f(x)和的计算。为了得到方程10中的能量，我们进行了f(L-x)的类比计算。为了求板间的卡西米尔力，我们对E关于x求导：
式14：图5所示为板I与板III间卡西米尔引力的近似表达式。应该注意的是，正则化参数从力的最终表达式中消失了。幸运的是，这允许实验者测量F。
下面是一些简单的观察：
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