为什么说“任意两个自然数是素数的概率是6/π^2”
电子通信和数学2019-07-17 21:19
如下几个有趣的级数大家都已经很熟悉了，这些都要归功于欧拉高超的数学技巧，使得数学家们大开眼界，但欧拉并没有因此停止探索的脚步，而是继续向前推进，最终由此发现了这个级数与素数的惊人关系
也就是这个著名的公式，你发现它与众不同的一面了吗？如果没有发现，我们继续往下看
首先延续前面的文章，将π^2/6用ζ(z)代替，所有的平方都换成z，也就是将级数换成与与z有关的函数
我们来进行美妙的数学推导，不需要你有高等数学基础，跟着以下思路就可以看懂，将如下第一行的式子乘以1/3^z
就变成了如下样式
你会发现第一行右边的分母和第二行右边的分母都是倍数关系，且都是3的倍数，所以第一行减去第二行就得到，你看懂了吗？是不是很简单
我们继续将得到的式子乘以1/5^z，同样第一行的分母和第二行的分母又是5的倍数，再用第一行减去第二行
我们就得到：
我们不断的以此类推，源源不断进行下去，等号右边的项都被消去，最终得到
你发现了没有，左边分母都是素数，这是一个惊人的发现
当z=1时，我们已经知道，如下式子是趋于无穷大的，这是不是意味着素数有无穷多个呢
当z=2时，我们又回到了原点，即欧拉的自然数平方倒数和有关的级数，因为文章开头我们用π^2/6用ζ(z)代替，所以得到
我们再次有得到素数有无穷多个的结论，你看懂了吗，因为如果有有限多个，那么上式的分母一定是有限多个，所以等号右边就是个有理数，但等号左边却是个无理数，因为π是无理数。
我们也因此得到一条重要结论，任意两个自然数是素数的概率是6/π^2,
因为随意选两个数其中一个是偶数的概率是1/2，那它们有公约数的概率1/2，我们就得到两个数不是偶数，且没有公约数的概率就是1-1/2^2，依次类推就得到任意两个自然数是素数的概率是6/π^2。
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