10个让你烧脑让你晕的数学悖论！
易知数学2018-03-29 11:53
悖论是一种很有意思的逻辑游戏，看完这10个经典悖论，你脑子还转的过来吗？
①二分法悖论
概述：运动是不可能的。你要到达终点，必须先到达全程的1/2处；要到达1/2处，必须先到1/4处……每当你想到达一个点，总有一个中点需要先到，因此你是永远也到不了终点的。
古希腊哲学家芝诺提出了一系列关于运动不可分性的哲学悖论，二分法悖论就是其中之一。直到19世纪末，数学家们才为无限过程的问题给出了形式化的描述，类似于0.999……等于1的情境。
那么我们究竟是如何到达目的地的呢？二分法悖论只是空谷传音般放大了问题。若想妥善解决这个问题，还得靠物质、时间和空间是否无限可分等等这些20世纪的衍生理论。
脑洞：无限二分16寸芝士乳酪蛋糕却不能吃的快感，你值得拥有。
②飞矢不动
概述：一根箭是不可能移动的。飞行过程中的任何瞬间，它都有一个暂时的位置，由此可知一枝动的箭是所有不动的集合。
芝诺又一著名悖论，他认为时间的单位是瞬间。事实上，运动不会发生在任何特定时刻，并不意味着运动不会发生。战国时期的诡辩学代表人物惠施也曾说：“飞鸟之影，未尝动也。”
“飞矢不动”实际上暗示了量子力学的观点。以狭义相对论为背景，物体在静止与运动时是不同的。根据相对论，对于以不同速度移动的物体，观察者会产生不同感受，对周围的世界也会持有不同看法。
脑洞：看到漂亮妞心动3秒，上去要电话惨遭拒绝。咳咳，飞矢不动，我没心动。
③忒修斯之船
概述：如果忒修斯的船上的木头被逐渐替换，直到所有的木头都不是原来的木头，这艘船还是原来的那艘船吗？
基于同一性的古希腊著名悖论，引发了赫拉克利特、苏格拉斯、柏拉图等的各种讨论。近代启蒙运动中，英国的两位大哲学家托马斯·霍布斯（Thomas Hobbes）、约翰·洛克（John Locke）也曾尝试解答这个问题。答案始终是是非非，难以一锤定音。
脑洞：人体细胞每七年更新一次，七年后，镜子里是另一个你。
④托里拆利小号
概述：体积有限的物体，表面积却可以无限。
17世纪的几何悖论。意大利数学家托里拆利（Evangelista Torricelli）将y=1/x中x≥1的部分绕着x轴旋转了一圈，得到了上面的小号状图形（注：上图只显示了一部分图形）。然后他得出：这个小号的表面积无穷大，可体积却是 π。
脑洞：原来也有平胸不一定能为国家省布料的时候。
⑤有趣数悖论
概述：1是非零的自然数，2是最小的质数，3是第一个奇质数，4是最小的合数等等；如果你找不到这个数字有趣的特征，那它就是第一个不有趣的数字，这也很有趣。
于是，量子计算领域的研究猿纳撒尼尔·约翰斯（Nathaniel Johnston）把这些有趣的整数定义为一个整体，并将这些整体排成序列，像是质数、斐波那契数列、毕达哥拉斯数等。基于这个定义，约翰斯在2009年6月的博客里提出，第一个没有出现在序列里的数字是11630。2013年11月序列更新之后，他表示14228是最小的无趣数。
脑洞：n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿，扑通n声跳下水……你想起数列是个什么鬼了吗？
⑥球与花瓶
概述：假设无限个球和一个花瓶，现在要进行一系列操作，且每次操作都一样：往花瓶里放10个球，然后取出1个球。那么，无穷多次这样的操作之后，花瓶里有多少个球呢？
答案千奇百怪。最直接的是无限个，也有数学家认为，每个球都会被取出来。逻辑学家詹姆斯·亨勒（James M. Henle）和托马斯·泰马祖科（Thomas Tymoczko）提出花瓶里的球最终可以是任意数目，甚至有具体的构造方法。
1976 年谢尔登·罗斯（Sheldon Ross）在他的《概率论第一课》（A First Course in Probability）介绍了这个问题，所以它被称为“罗斯·利特尔伍德悖论”（Ross-Littlewood Paradox）。
脑洞：小学奥林匹克暗袋摸球概率题终极版。
⑦土豆悖论
概述：100克土豆含有99%的水，如果它被榨出了2%，还剩98%的水分，它将只重50克。即100克的土豆含有1克干物质（dry material），当还剩98%的水分时，1克将对应2%的含量，因此含98%水分的土豆重50克。
脑洞：理科生们笑到内伤。
⑧饮酒悖论
概述：酒吧里会发生这种情况：如果有人在喝酒，那么每个人都在喝酒。乍看起来是一个人喝酒导致了所有人喝酒。实际上，如果酒吧里至少有一个人没在喝酒，那么按照数学中的实质条件（material conditional），对那些没喝酒的人来说，有些人在喝酒，这些人中的每个人都在喝酒，情况依然成立。
实质条件的示意图如下：
“饮酒悖论”由于雷蒙德·斯穆里安（Raymond Smullyan）的书而出名，这本书的名字就叫《这本书叫什么名字》（What Is the Name of this Book?）。
⑨理发师悖论
概述：小城的理发师放出豪言：“我只帮城里所有不自己刮脸的人刮脸。”那么问题来了，理发师给自己刮脸么？如果他给自己刮脸，就违反了只帮不自己刮脸的人刮脸的承诺；如果他不给自己刮脸，就必须给自己刮脸，因为他的承诺说他只帮不自己刮脸的人刮脸。两种假设都说不通。
赫赫有名的罗素悖论，由英国数学家勃兰特·罗素教授于20世纪初提出。这条悖论证明了19世纪的集合论是有漏洞的，几乎改变了数学界20世纪的研究方向。
脑洞：对于不刮胡子的女理发师不成立。
⑩祖父悖论
概述：如果你乘坐哆啦A梦的时光机，回到你爷爷奶奶相遇之前，杀死你的爷爷会发生什么？如果杀死了你的爷爷，那么你就从未诞生；如果你从未诞生，如何回到以前杀死你的爷爷？
祖父悖论看似杜绝了人为操纵命运的可能，过去无法改变，爷爷一定会在孙子的谋杀中幸存下来；还有种可能是，你进入了另一个平行宇宙，这是你从未生活过的世界，但你的爷爷奶奶却也在这里。
这个关于时间旅行的悖论源自罗伯特·海因莱因的短篇小说，近来又出现在诺兰导演的《星际穿越》中。
脑洞：如果你重返二战前，杀死希特勒，成功阻止了二战的爆发。然而，如果没有发生二战，回去刺杀希特勒的理由是什么？时间旅行本身就消除了旅行的目的，本身就在质疑本身。
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